Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 42 стр.

X ;! Fr(X) . pOKAVEM, ^TO SOOTWETSTWIE X 7! Fr(X) OPREDELQET
FUNKTOR IZ S W KATEGORI@ M . nEOBHODIMO OPREDELITX DEJSTWIE NA
MORFIZMAH. dOPUSTIM, ^TO DAN MORFIZM GRADUIROWANNYH MNOVESTW
f : X ;! Y . tOGDA PUSTX Fr(f ) ESTX EDINSTWENNYJ GOMOMORFIZM
ALGEBR Fr(X) ;! Fr(Y) , TAKOJ, ^TO KOMMUTATIWNA DIAGRAMMA:
                       Fr(X) Fr  (f )
                                ;! Fr(Y)
                         " (X)       " (Y)                    (1)
                         X      f
                               ;!      Y
~TOBY POLU^ITX \TU KOMMUTATIWNU@ DIAGRAMMU IZ UNIWERSALXNOGO
SWOJSTWA Fr(X) , NADO WZQTX A = Fr(Y) , I RASSMOTRETX MORFIZM
GRADUIROWANNYH MNOVESTW X ;!          (Y) Fr(Y) . tOGDA GOMOMOR-
                                f Y ;!
FIZM h , SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX KOTOROGO SLEDU@T IZ UNI-
WERSALXNOGO SWOJSTWA | \TO I ESTX Fr(f ) . eSLI Y = X f = idX , TO
Fr(id) = idFr(X) , TAK KAK TOVDESTWENNYJ GOMOMORFIZM DELAET DIA-
GRAMMU (1) KOMMUTATIWNOJ, A DWUH GOMOMOMORFIZMOW S TAKIM SWOJ-
STWOM BYTX NE MOVET. eSLI DAN MORFIZM g : Y ;! Z , TO h1 =
Fr(g)Fr(f ) I h2 = Fr(gf ) UDOWLETWORQ@T ODNOMU I TOMU VE SWOJST-
WU: hi (X) = (Z)gf , I PO\TOMU DOLVNY BYTX RAWNYMI.
   pEREOSMYSLIWAQ DIAGRAMMU (1) KAK KOMMUTATIWNU@ DIAGRAMMU
                                  (f ))
                  U (Fr(X)) U (Fr
                               ;! U (Fr(Y))
                      " (X)            " (Y)                  (2)
                    X         f
                             ;!        Y
DELAEM WYWOD, ^TO (X) : X ;! U (Fr(X)) | ESTESTWENNOE PREOB-
RAZOWANIE TOVDESTWENNOGO FUNKTORA IdS W KOMPOZICI@ FUNKTOROW
U Fr : S ;! S .
  pUSTX A | NEKOTORAQ  -ALGEBRA IZ M , I DAN MORFIZM GRADU-
IROWANNYH MNOVESTW f : X ! U (A) . |TO OZNA^AET, ^TO WYPOLNENY
USLOWIQ OPREDELENIQ 4.2, I SU]ESTWUET, PRITOM TOLXKO ODIN, GOMOMOR-
FIZM  -ALGEBR h : Fr(X) ! A TAKOJ, ^TO h(X) = f . dLQ KATEGORII
S \TO OZNA^AET, ^TO WMESTO GOMOMORFIZMA ALGEBR NADO WZQTX MOR-
FIZM GRADUIROWANNYH MNOVESTW U (h) , I TOGDA UNIWERSALXNOE SWOJ-
STWO PREWRA]AETSQ W OPREDELENIE SOPRQVENNOGO FUNKTORA. tEOREMA
DOKAZANA.
                                42