Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 43 стр.

  tEPERX PRISTUPIM K DOKAZATELXSTWU TOGO, ^TO SWOBODNYE ALGEBRY
SU]ESTWU@T W L@BOM MNOGOOBRAZII.
  oPREDELENIE 4.3. tOVDESTWOM, WYPOLNQ@]IMSQ W ALGEBRE A 2
-Alg NAZYWAETSQ PARA SLOW (t1 t2) 2 Fr (X)s  Fr (X)s TAKAQ, ^TO
DLQ L@BOGO GOMOMORFIZMA h : Fr(X) ;! A IMEET MESTO RAWENSTWO
hs (t1) = hs (t2) .
   o^ENX ^ASTO W LITERATURE WMESTO UTWERVDENIQ "TOVDESTWO (t1 t2) "
UPOTREBLQETSQ WYRAVENIE "TOVDESTWO t1 = t2 ". sMYSL, KOTORYJ WKLA-
DYWAETSQ W TAKU@ ZAMENU, MOVNO WKRATCE OPISATX SLEDU@]IM OBRA-
ZOM. |LEMENTY SWOBODNOJ ALGEBRY t1 I t2 MOVNO MYSLITX KAK SWOEGO
RODA MONOMY OT PEREMENNYH (TO ESTX \LEMENTOW BAZISA SWOBODNOJ AL-
GEBRY) x1 : : : xn , ^TO ZAPISYWAETSQ TAK: tk = tk (x1 : : : xn) , k = 1 2 .
w ZAPISX \TIH "MONOMOW", KROME PEREMENNYH, WHODQT SIMWOLY OPERA-
CIJ, TO ESTX \LEMENTY SIGNATURY  . pRIMENENIE K \LEMENTAM tk
GOMOMORFIZMA h , TAKOGO, ^TO h(xi ) = ai , 1 i n (DLQ KRATKOSTI
OPUSKAEM INDEKSY U h ), FAKTI^ESKI OZNA^AET , ^TO W W MONOMY tk SDE-
LANA "PODSTANOWKA" ai WMESTO xi , I WMESTO SIMWOLOW OPERACIJ "POD-
STAWLENY" SOOTWETSTWU@]IE OPERACII W ALGEBRE A , POSLE ^EGO \TI
OPERACII WYPOLNQ@TSQ W A NAD \LEMENTAMI a1 : : : an , I POLU^EN-
NYE TAKIM OBRAZOM \LEMENTY A OBOZNA^A@TSQ ^EREZ tk(a1 : : : an) ,
k = 1 2 . iZ UNIWERSALXNOGO SWOJSTWA SWOBODNOJ ALGEBRY SLEDUET,
^TO W KA^ESTWE a1 : : :  an MOVNO BRATX L@BYE NABORY \LEMENTOW A
(W TOM ^ISLE S POWTORENIQMI), S EDINSTWENNYM OGRANI^ENIEM: DOLV-
NO SOBL@DATXSQ SOOTWETSTWIE SORTOW xi I ai . dLQ KAVDOGO NABORA
a1 : : :  an SU]ESTWUET GOMOMORFIZM h , TAKOJ, ^TO h(xi ) = ai . pO\-
TOMU UTWERVDENIE " (t1 t2) ESTX TOVDESTWO, WYPOLNQ@]EESQ W A "
OZNA^AET, ^TO KAKOWY BY NI BYLI a1 : : : an IZ A , W ALGEBRE A WSEG-
DA IMEET MESTO RAWENSTWO t1(a1 : : : an) = t2(a1 : : :  an) . iMENNO \TO
I IMEETSQ W WIDU, KOGDA UTWERVDAETSQ, ^TO t1 = t2 ESTX TOVDESTWO.
   oBOZNA^IM ^EREZ TA(X)s MNOVESTWO WSEH TOVDESTW, SOOTWETSTWU-
@]IH s 2 S I X 2 S , I ^EREZ TA(X) | GRADUIROWANNOE MNOVESTWO
fTA(X)s js 2 S g . qSNO, ^TO TA(X)  Fr (X)  Fr (X) .
lEMMA 4.2. TA(X) | KONGRU\NCIQ.
 dOKAZATELXSTWO. oPREDELENIE TA(X) RAWNOSILXNO TOMU, ^TO
                                       43