Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 47 стр.

h : Fr(Xi) ;! A , KOMPONENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ OTOBRAVENIQ
hs : Fs = Fr (Xi )s ! As . tOGDA DLQ L@BOJ PARY (z1 z2) 2 (Zi )s 
Fs  Fs DOLVNO WYPOLNQTXSQ RAWENSTWO hs (z1) = hs (z2) .
    iNYMI SLOWAMI, V ar(Z) SOSTOIT IZ WSEH ALGEBR, NA KOTORYH WY-
POLNQ@TSQ WSE TOVDESTWA IZ ZADANNOGO FIKSIROWANNOGO SEMEJSTWA Z .
tEOREMA      4.3.      V ar(Z) | MNOGOOBRAZIE.
 dOKAZATELXSTWO o^EWIDNO, ^TO ESLI A 2 V ar(Z) (TO ESTX ALGEB-
                    .
RA A QWLQETSQ OB_EKTOM \TOJ KATEGORII), TO I DLQ L@BOJ PODALGEBRY
B  A TAKVE B 2 V ar(Z) . pUSTX f : A ;! B | S@R_EKTIWNYJ
GOMOMORFIZM I A 2 V ar(Z) . wYBEREM PROIZWOLXNYJ GOMOMORFIZM
h : Fr(X) ;! B , \LEMENTY s 2 S , i 2 I I (z1 z2) 2 (Zi)s . pUSTX
i = (Xi) . rASSMOTRIM  = hi : Xi ;! B . wWIDU S@R_EKTIWNOSTI
f DLQ KAVDOGO t 2 S I DLQ L@BOGO x 2 (Xi)t NAJDETSQ ax 2 At (
NAPOMNIM, ^TO At | \TO KOMPONENTA A ), TAKOJ, ^TO ft (ax) = t(x) .
sOPOSTAWLQQ \LEMENTU x \LEMENT ax , POLU^AEM MORFIZM GRADUIRO-
WANNYH MNOVESTW  : Xi ;! A , TAKOJ, ^TO f  = hi . pO \TOMU MOR-
FIZMU ODNOZNA^NO STROITSQ GOMOMORFIZM g : Fr (Xi ) ;! A , TAKOJ,
^TO gi =  . tOGDA fgi = f  = hi , I IZ SWOJSTWA EDINSTWENNOS-
TI W OPREDELENII SWOBODNOJ ALGEBRY POLU^AEM fg = h . w ^ASTNOSTI,
hs (zk ) = fs(gs (zk )) , k = 1 2 . nO PO WYBORU A KAK OB_EKTA V ar(Z)
DOLVNO BYTX gs(z1) = gs(z2) . oTS@DA hs (z1) = hs (z2) , A \TO OZNA^AET,
^TO B 2 V ar(Z) .
    pUSTX TEPERX DANO SEMEJSTWO ALGEBR fAj jj 2 J g , KAVDAQ
                                                           Q     ALGEBRA
IZ KOTOROGO PRINADLEVIT V ar(Z) . rASSMOTRIM A = j2J Aj . l@BOJ
GOMOMORFIZM h : Fr (Xi ) ;! A ODNOZNA^NO OPREDELQET SEMEJSTWO
GOMOMORFIZMOW hj : Fr (Xi) ;! Aj PO PRAWILU hj = pj h , GDE pj :
A ;! Aj | ESTESTWENNYE PROEKCII. eSLI (z1 z2) 2 (Zi)s , TO hs(zk)
ESTX SEMEJSTWO f(hj )s(zk )jj 2 J g , k = 1 2 . iZ USLOWIQ Aj 2 V ar(Z)
DLQ WSEH j 2 J SLEDUET, ^TO (hj )s(z1) = (hj )s (z2) DLQ WSEH j , A
\TO OZNA^AET, ^TO hs (z1) = hs (z2) . pO\TOMU A 2 V ar(Z) . tEOREMA
DOKAZANA.
  pRIMER 4.1. w OBOZNA^ENIQH PRIMERA 2.1 MNOGOOBRAZIE GRUPP IME-
ET WID V ar(Z ) , GDE Z SOSTOIT IZ SLEDU@]IH TOVDESTW: (x1x2!)x3 ! =
x1(x2x3!)! (W BOLEE PRIWY^NYH OBOZNA^ENIQH \TO (x1 x2) x3 =
                                   47