Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 48 стр.

x1 (x2 x3) ), x(x )! = " , (x )x! = " ( TO ESTX x x;1 = " = 1 ,
x;1 x = " = 1 ).
   w TRADICIONNYH KURSAH ALGEBRY BOLXINSTWO PONQTIJ OPREDELQ-
ETSQ IMENNO W TERMINAH TOVDESTW, I PO\TOMU WSE WOZNIKA@]IE TAM
MNOGOOBRAZIQ IME@T WID V ar(Z ) DLQ SOOTWETSTWU@]EJ SIGNATURY I
NEKOTOROGO Z .
   pRIMER 4.2. dEJSTWIQ GRUPP NA MNOVESTWAH, OPISANNYE KAK MNO-
GOOSNOWNYE ALGEBRY W PRIMERE 2.2, OPISYWA@TSQ KAK MNOGOOBRAZIE
TOVDESTWAMI IZ PREDYDU]EGO PRIMERA, K KOTORYM DOBAWLENY TOV-
DESTWA (g1g2)!x = g1(g2x) (^TO W "OBY^NYH" OBOZNA^ENIQH SOOT-
WETSTWUET (g1 g2)x = g1(g2x) ), I "x = x (TO ESTX "x = x ). tAKIM
OBRAZOM, KATEGORIQ DEJSTWIJ GRUPP NA MNOVESTWAH | MNOGOOBRAZIE
WIDA V ar(Z) .
   wWEDEM SLEDU@]IE SOGLAENIQ. pUSTX Z = fZi ji 2 I g , H =
fHj jj 2 J g . ~EREZ Z  H BUDET OBOZNA^ATXSQ SLEDU@]EE SWOJSTWO:
I  J , I DLQ KAVDOGO i 2 I IMEET MESTO WKL@^ENIE GRADUIROWANNYH
MNOVESTW Zi  Hi . pUSTX DANO MNOVESTWO SEMEJSTW GRADUIROWANNYH
MNOVESTW Zk = fZikji 2 Ik g , k 2 K . ~EREZ k2K Zk BUDET OBOZNA-
^ATXSQ SEMEJSTWO GRADUIROWANNYH MNOVESTW fZik ji 2 Ik  k 2 K g .
lEMMA 4.4. 1) eSLI Z  H , TO V ar(H)  V ar(Z) .
 2) V ar(k2K Zk ) = k2\K V ar(Zk) .
dOKAZATELXSTWO.        uTWERVDENIE 1) O^EWIDNO, TAK KAK DLQ ALGEBR,
W KOTORYH WYPOLNQ@TSQ WSE TOVDESTWA IZ H , ZAWEDOMO WYPOLNQ@TSQ
I TOVDESTWA IZ MENXEGO SEMEJSTWA (PODSEMEJSTWA) Z .
   dOKAVEM 2). pOSKOLXKU Zk  q2K Zq , TO, SOGLASNO PUNKTU 1),
V ar(q2K Zq )  V ar(Zk ) , A ZNA^IT, V ar(q2K Zq )  k2\K V ar(Zk ) . oB-
RATNO, PUSTX A 2 k2\K V ar(Zk ) . |TO ZNA^IT, ^TO W ALGEBRE A WY-
POLNENY WSE TOVDESTWA IZ WSEH Zk , k 2 K . sLEDOWATELXNO, W A
WYPOLNENY TOVDESTWA IZ k2K Zk , TO ESTX A 2 V ar(k2K Zk ) . lEMMA
DOKAZANA.
tEOREMA 4.4. (g. bIRKGOF). kAVDOE MNOGOOBRAZIE M MOVNO
PREDSTAWITX W WIDE V ar(Z) , GDE Z | NEKOTOROE MNOVESTWO TOV-
DESTW. bOLEE TO^NYE FORMULIROWKI | W SLEDU@]IH DWUH PUNKTAH:
                                     48