Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 5 стр.

pODKATEGORIQ K NAZYWAETSQ POLNOJ, ESLI DLQ L@BYH X Y 2 Ob K
WKL@^ENIE K(X Y )  C(X Y ) QWLQETSQ RAWENSTWOM.
    pRIMER 1.1 . kATEGORIQ Set : OB_EKTY | MNOVESTWA, MORFIZMY
| OTOBRAVENIQ (FUNKCII). kOMPOZICIQ MORFIZMOW | TO VE SAMOE,
^TO KOMPOZICIQ (SUPERPOZICIQ) OTOBRAVENIJ. nAPOMNIM, ^TO PO OPRE-
DELENI@, (fg)(x) = f (g(x)) . aSSOCIATIWNOSTX SUPERPOZICII OTOBRA-
VENIJ HOROO IZWESTNA. rOLX TOVDESTWENNOGO MORFIZMA 1X : X ! X
IGRAET TOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE, PEREWODQ]EE KAVDYJ x 2 X W
SEBQ, 1X (x) = x . kONE^NYE MNOVESTWA I IH OTOBRAVENIQ OBRAZU@T
POLNU@ PODKATEGORI@ KATEGORII Set .
    pRIMER 1.2 . kATEGORIQ C S ODNIM OB_EKTOM X WPOLNE OPREDELQ-
ETSQ ZADANIEM MNOVESTWA MORFIZMOW P = C(X X ) , EDINI^NOGO MOR-
FIZMA 1 = 1X 2 P , I KOMPOZICII, KOTORAQ SWODITSQ K OTOBRAVENI@
P  P ! P , (x y) 7! xy , OBLADA@]EMU SWOJSTWAMI (xy)z = x(yz ) ,
1x = x , x1 = x . tAKIM OBRAZOM, ZADATX KATEGORI@ S ODNIM OB_EK-
TOM | \TO WSE RAWNO, ^TO ZADATX POLUGRUPPU S EDINICEJ (MONOID) P .
pODKATEGORII KATEGORII C SOOTWETSTWU@T PODPOLUGRUPPAM S EDINI-
CEJ (T.E. PODMONOIDAM) MONOIDA P .
    pRIMER 1.3 . pUSTX L | NEKOTOROE ^ASTI^NO UPORQDO^ENNOE MNO-
VESTWO. L PREWRA]AETSQ W KATEGORI@ SLEDU@]IM OBRAZOM. oB_EKTY
KATEGORII L | \TO \LEMENTY REETKI L . dLQ L@BYH DWUH OB_EKTOW
x y 2 L OPREDELIM MNOVESTWO L(x y) , POLAGAQ L(x y) =  , ESLI
x 6 y , I L(x y) = fayxg ( MNOVESTWO IZ ODNOGO \LEMENTA ayx ), ESLI
x y . tOGDA PRI x y z MOVNO ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDE-
LITX KOMPOZICI@ L(y z )  L(x y) ! L(x z ) , POLAGAQ azy ayx = azx .
iZ SWOJSTWA TRANZITIWNOSTI DLQ ^ASTI^NOGO PORQDKA SLEDUET ASSO-
CIATIWNOSTX \TOGO UMNOVENIQ. lEGKO TAKVE ZAMETITX, ^TO \LEMENTY
axx | \TO TOVDESTWENNYE MORFIZMY.
    pRIMER 1.4 . kATEGORIQ Mod - R PRAWYH MODULEJ NAD ASSOCIA-
TIWNYM KOLXCOM R OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM. eE OB_EKTY |
\TO MODULI, A MORFIZMY | GOMOMORFIZMY MODULEJ. kOMPOZICIQ GO-
MOMORFIZMOW OPREDELQETSQ KAK KOMPOZICIQ OTOBRAVENIJ, I QWLQETSQ
GOMOMORFIZMOM. tOVDESTWENNOE OTOBRAVENIE MODULQ ESTX GOMOMOR-
FIZM. mNOVESTWO GOMOMORFIZMOW IZ MODULQ M W MODULX N PRINQTO
OBOZNA^ATX ^EREZ HomR(M N ) , ILI ^EREZ Hom(MR NR) (ESLI NADO
POD^ERKNUTX, ^TO MODULI PRAWYE). zAMETIM, ^TO \TI MNOVESTWA QW-
                                    5