Введение в универсальную и категорную алгебру. Тронин С.Н. - 6 стр.

LQ@TSQ ABELEWYMI GRUPPAMI. gRUPPOWYE OPERACII OPREDELENY TAK:
(f1 f2 )(x) = f1(x) f2(x) . nULEM W HomR(M N ) QWLQETSQ OTOBRA-
VENIE, PEREWODQ]IE KAVDYJ \LEMENT x 2 M W 0 2 N .
   oPREDELENIE 1.3. kATEGORIQ C NAZYWAETSQ PREDADDITIWNOJ, ES-
LI KAVDOE MNOVESTWO MORFIZMOW C(X Y ) OBLADAET STRUKTUROJ ABE-
LEWOJ GRUPPY (OBY^NO ADDITIWNO ZAPISYWAEMOJ), PRI^EM OPERACIQ
KOMPOZICII MORFIZMOW QWLQETSQ BILINEJNYM OTOBRAVENIEM , TO ESTX
(f1 f2 )g = f1g f2g I f (g1 g2) = fg1 fg2 .
   kATEGORIQ Mod - R QWLQETSQ PREDADDITIWNOJ. iMEETSQ MNOGO DRU-
GIH PRIMEROW PREDADDITIWNYH KATEGORIJ, W TOM ^ISLE OBLADA@]IH
RQDOM DOPOLNITELXNYH WAVNYH SWOJSTW (ADDITIWNYE I ABELEWY KA-
TEGORII). oB]U@ TEORI@ TAKIH KATEGORIJ MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W
KNIGAH 1], 2] I 15].
   pRIMER 1.5 . pREDADDITIWNYE KATEGORII S ODNIM OB_EKTOM |
\TO, PO SUTI, TO VE SAMOE, ^TO I ASSOCIATIWNYE KOLXCA S EDINICEJ.
   pRIMER 1.6 .       pROIZWEDENIEM KATEGORIJ C1 I C2 NAZYWAETSQ KATE-
GORIQ, OBOZNA^AEMAQ ^EREZ C1  C2 , OB_EKTAMI KOTOROJ QWLQ@TSQ WSE-
WOZMOVNYE (UPORQDO^ENNYE) PARY OB_EKTOW (X1 X2) , X1 2 Ob C1 ,
X2 2 Ob C2 , A MORFIZMAMI IZ (X1 X2) W (Y1 Y2) | WSEWOZMOVNYE
PARY MORFIZMOW (f1  f2) , GDE fi : Xi ! Yi , i = 1 2 | MORFIZMY
W KATEGORII Ci . kOMPOZICIQ MORFIZMOW OPREDELQETSQ POKOMPONENT-
NO: (f1  f2)(g1 g2) = (f1g1 f2g2) . lEGKO PROWERQETSQ ASSOCIATIWNOSTX,
I TO, ^TO PARA (1A 1B ) QWLQETSQ EDINI^NYM MORFIZMOM DLQ OB_EKTA
(A B ) . eSLI KATEGORII C1 , C2 PREDADDITIWNY, TO C1  C2 TAKVE PRE-
DADDITIWNA: (f1 f2) (h1  h2) = (f1 h1  f2 h2 ) . aNALOGI^NYM OBRA-
ZOM MOVNO OPREDELITX PRQMOE PROIZWEDENIE PROIZWOLXNOGO SEMEJSTWA
KATEGORIJ.
    pRIMER 1.7 . dLQ L@BOJ KATEGORII C MOVNO OPREDELITX DWOJ-
STWENNU@ K NEJ KATEGORI@ C SLEDU@]IM OBRAZOM. oB_EKTY U C TE
VE, ^TO I U C , A C (X Y ) = C(Y X ) . nEFORMALXNO GOWORQ, STRELKI
OSTA@TSQ TEMI VE, NO IH NAPRAWLENIE MENQETSQ NA PROTIWOPOLOVNOE.
kOMPOZICIQ MORFIZMOW W C OPREDELQETSQ ^EREZ KOMPOZICI@ W C .
pUSTX f : X ! Y , g : Y ! Z | MORFIZMY C . fAKTI^ESKI \TO
MORFIZMY KATEGORII C WIDA f : Y ! X , g : Z ! Y . pOLAGAEM
g f = fg (SPRAWA | KOMPOZICIQ W C , KOTORAQ S^ITAETSQ ZADANNOJ,

                                   6