Составители:
Рубрика:
110
числами. По этой причине дисперсионные характеристики связывают-
ся в некоторой окрестности (∆k, ∆ω) точки пересечения. Размер этой
области связи тем больше, чем сильнее взаимодействие.
Если через область связи проходит еще одна дисперсионная харак-
теристика, то соответствующие ей волны так же оказываются вовлечен-
ными во взаимодействие. В зависимости от числа таких волн говорят о
двух-, трехволновом (и т.д.) взаимодействии.
Обычно связанные волны легко узнать по дисперсионному уравне-
нию, имеющему вид произведения множителей типа [ω −ω
1
(k)], напри-
мер для двухволнового взаимодействия
[ω − ω
1
(k)] [ω −ω
2
(k)] = δ , (2)
где δ, вообще говоря, функция ω и k. Важное значение имеет случай
слабого взаимодействия волн, когда область связи мала и дисперсион-
ные характеристики вблизи точки синхронизма можно аппроксимиро-
вать первыми членами разложения в ряд Тейлора, а функцию δ считать
константой. Например, для двухволнового взаимодействия, если группо-
вые скорости обоих волн в точке синхронизма отличны от нуля, можно
записать
[ω −ω
0
− v
1
(k −k
0
)] [ω −ω
0
− v
2
(k −k
0
)] ≈ δ(ω
0
, k
0
) .
Здесь v
1
= (dω
1
/dk)
k=k
0
, v
2
= (dω
2
/dk)
k=k
0
Перенося начало координат
на плоскости (ω, k) в точку синхронизма, т.е. вводя новые переменные
˜ω = ω −ω
0
и
˜
k = k −k
0
, мы приходим к уравнению вида (1) (в котором
тильды над переменными опущены). Два разных знака перед ε соответ-
ствуют разным знакам правой части дисперсионного уравнения в форме
связанных волн (2) в точке синхронизма.
Легко понять, что всего имеется четыре эталонных ситуации при
слабом взаимодействии двух волн. Рассматриваемый в данной задаче
случай соответствует тому, что взаимодействующие волны имеют раз-
ные знаки групповой скорости в точке синхронизма, а знак в правой
части дисперсионного уравнения может быть положительный или от-
рицательный. Оставшиеся два случая, когда групповые скорости имеют
одинаковый знак, рассматриваются в задаче 150.
Дисперсионные характеристики, соответствующие уравнениям (1),
приведены на рис. 2.23. Рисунок а соответствует знаку плюс, а рису-
нок б — знаку минус в исходных уравнениях. Дисперсионные кривые
отличаются от прямых ω = v
1
k и ω = −v
2
k в некоторой окрестности
точки пересечения. Размер этой окрестности по частоте ∆ω ∼ ∆ε и по
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
