Составители:
Рубрика:
112
будет определен в задаче 151. Одновременно для действительных ча-
стот ω < 2
√
v
1
v
2
ε/(v
2
− v
1
) имеем комплексно сопряженные волновые
числа. Это свидетельствует о возможности усиления сигнала в системе.
Действительно, предположим, что мы имеем среду, описываемую
дисперсионным уравнением D(ω, k) = 0 и в момент t = 0 в точке x = 0
включается источник, возбуждающий волны на частоте Ω = Ω
′
+ iΩ
′′
,
которая может быть комплексной. Физический смысл комплексной ча-
стоты ясен из зависимости возбуждающего сигнала от времени, она про-
порциональна exp(−Ω
′′
t) exp(iΩ
′
t): при Ω
′′
< 0 амплитуда колебаний
источника экспоненциально нарастает во времени. Рассмотрим распро-
странение волн справа от источника. Общее поле представляется суммой
бегущих или затухающих волн, каждая из которых отвечает одной из
ветвей дисперсионного уравнения, разрешенного относительно волново-
го числа: k
i
(Ω), причем справа от источника могут быть отличными от
нуля амплитуды только тех волн, которые переносят энергию в поло-
жительном направлении оси x. Чтобы выделить ветви дисперсионного
уравнения, отвечающие таким волнам, предположим, что Ω
′′
→ −∞,
т.е. источник включается бесконечно быстро. При этом в фиксирован-
ный момент времени мы должны получить пространственное затухание
волн при x → ∞, так они распространяются с конечной скоростью, и не
успевают добежать от источника до точки наблюдения. Для этих волн
должно быть k
′′
i
(Ω) < 0, иначе вместо затухания мы получим увеличе-
ние поля при удалении от источника. Волны, удовлетворяющие условию
k
′′
i
(Ω) → −∞ при Ω
′′
→ −∞, переносят энергию в положительном, а
остальные — в отрицательном направлении оси x. Обозначим их соот-
ветственно через k
+i
(ω) и k
−i
(ω).
Определив таким образом, какому типу волны соответствует каж-
дая ветвь дисперсионного уравнения, можно найти, будет ли волна уси-
ливающей или затухающей при действительном значении частоты Ω.
Если k
+i
(Ω) > 0, при Ω
′′
= 0, то эта волна имеет распределение ампли-
туда в пространстве exp[k
′′
+i
(Ω)x], т.е. волна увеличивает амплитуду в
направлении своего распространения — в системе есть усиление в поло-
жительном направлении оси x. Аналогично, если k
′′
−i
(Ω) < 0, то соот-
ветствующая волна усиливается при распространении в отрицательном
направлении оси x.
Резюмируя, получаем следующий критерий различения пространст-
венного усиления и непропускания в системе, принадлежащий Бригг-
су [4, 1]: Если существует корень дисперсионного уравнения k
i
(ω), та-
кой, что при изменении мнимой части комплексной частоты от −∞ до
нуля он пересекает действительную ось, то в системе сущ ествует усиле-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- …
- следующая ›
- последняя »
