Составители:
Рубрика:
114
Запишем дисперсионное уравнение для системы (1):
(ω − v
1
k)(ω − v
2
k) + ε
2
= 0 . (2)
Для выяснения характера неустойчивости в системе можно восполь-
зоваться критерием, который позволяет сделать это с помощью иссле-
дования поведения корней дисперсионного уравнения на комплексных
плоскостях ω и k. Мы приведем один из таких критериев, принадлежа-
щий Стэрроку (P.A.Sturrok), без доказательства, которое можно найти
в [4]
2
.
Пусть дисперсионное уравнение общего вида D(ω, k) = 0 при неко-
тором действительном k имеет корень ω
i
(k), такой, что ω
′′
i
(k) < 0, тогда
возмущения с этим волновым числом нарастают с течением времени, и
в системе существует неустойчивость. Эта неустойчивость абсолютная,
если: существуют два корня дисперсионного уравнения k
i
(ω), разрешен-
ного относительно волнового числа, которые:
1) лежат по разные стороны действительной оси на комплексной
плоскости k при ω
′′
→ −∞;
2) сливаются при некотором комплексном ω = ω
c
, причем ω
′′
c
< 0.
Если хотя бы одно из условий не выполняется, то неустойчивость
конвективная.
В некотором случае может происходить слияние в одной точке несколь-
ких корней дисперсионного уравнения, эти случаи требуют дополнитель-
ного анализа.
Удобный способ поиска точек слияния основан на том, что в них
должно выполняться условие
dω
dk
= 0 , или
∂D(ω, k)
∂k
= 0 ,
∂D(ω, k)
∂ω
6= 0 . (3)
2
Здесь необходимо сделать одно замечание. Всюду в этой книге мы выбираем
пространственно-временную зависимость волн в виде exp[i(ωt − kx)], как это при-
нято обычно в радиофизике. В то же время, в теоретической физике наиболее рас-
пространенным является другой выбор знака перед мнимой единицей в показателе
экспоненты. В излагаемом ниже к ритерии существенным я вляются знаки мнимых
частей корней дисперсионного уравнения. П оэтому при исследовании конкретного
случая необходимо учитывать, при каком выборе знака перед мнимой единиц ей в
экспоненте получено уравнение дисперсии.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- …
- следующая ›
- последняя »
