Составители:
Рубрика:
113
Рис. 2.24. Слабая связь двух волн, когда групповые ско-
рости в точке синхронизма имеют одинаковые знаки
ние. Направление усиления определяется классом, к которому принад-
лежит корень: + или −. Важно подчеркнуть, что существенны только
начальное и конечное положения корня: если он в процессе движения
по комплексной плоскости k несколько раз переходит из нижней полу-
плоскости в верхнюю и обратно, но в конечном итоге остается в своей
полуплоскости, такой корень соответствует непропусканию.
Возвращаясь к нашей задаче, видим, что при |ω| → ∞ ветви диспер-
сионного уравнения стремятся к асимптотам ω = v
1
k, и ω = v
2
k, при
ω
′′
→ −∞, для обоих корней имеем k
′′
(ω) → −∞. Следовательно обе
волны распространяются вправо. При действительном ω из интервала
ω < 2
√
v
1
v
2
ε/(v
2
− v
1
), как уже отмечалось, имеем два комплексно со-
пряженных корня, один из которых перешел из нижней полуплоскости
ω в верхнюю, т.е. в системе имеется усиление волн, распространяющихся
вправо.
Рассмотрим теперь нижний знак в исходных уравнениях. Дисперси-
онные характеристики показаны на рис. 2.24,б. В данном случае система
пассивна, в ней нет неустойчивости и при всех частотах волны распро-
страняются без усиления или непропускания.
151. В общем случае, когда знаки скоростей v
1
и v
2
произвольны, урав-
нения, описывающие слабое взаимодействие двух волн имеют вид
∂F
∂t
+ v
1
∂F
∂x
= εI ,
∂I
∂t
+ v
2
∂I
∂x
= ±εF . (1)
Из результатов задач 149 и 150 известно, что неустойчивость в системе
существует только при верхнем знаке перед ε во втором уравнении, по-
этому в дальнейшем ограничимся только этим случаем. Кроме того, без
ограничения общности можно считать, что v
2
> 0, v
2
> |v
1
|.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
