Составители:
Рубрика:
115
Решая это уравнение совместно с дисперсионным D(ω, k) = 0, можно
найти все седловые точки.
Применим критерий Стэррока к дисперсионному уравнению (2). Оче-
видно, что в системе есть неустойчивость для волновых чисел |k| <
2ε/|v
2
−v
1
|. Чтобы выяснить, какая это неустойчивость, разрешим урав-
нение относительно k:
k
1,2
(ω) =
1
2v
1
v
2
h
(v
1
+ v
2
)ω ±
p
(v
2
− v
1
)
2
ω
2
− 4v
1
v
2
ε
2
i
.
Асимптотика корней при |ω| → ∞ такова: k
1
(x) ≈ ω/v
1
, k
2
(x) ≈ ω/v
2
.
Очевидно, что если v
1
v
2
> 0, то при ω
′′
→ −∞ они лежат в одной
полуплоскости комплексной плоскости k и первое условие критерия на-
рушено. Следовательно в этом случае неустойчивость конвективная.
Если v
1
и v
2
имеют разные знаки, корни при ω
′′
→ −∞ лежат по
разные стороны действительной оси k и первое условие критерия Стэр-
рока выполнено. Корни k
1,2
(ω) сливаются при таком значении ω, когда
квадратный корень обращается в нуль, т.е. при ω
c
= ±i2
p
|v
1
v
2
|/|v
2
−
− v
1
|. Одна из этих седловых точек лежит в нижней полуплоскости ω,
т.е. второе условие критерия тоже выполнено. Следовательно неустой-
чивость абсолютная.
Резюмируя, можно сказать, что при слабой связи двух волн, приво-
дящей к дисперсионному уравнению вида (2), реализуется конвективная
неустойчивость, если знаки групповых скоростей волн в точке синхро-
низма совпадают, и абсолютная неустойчивость, если эти знаки проти-
воположны.
Тот же результат поучительно получить другим способом. Для этого
рассмотрим среду, описываемую уравнениями (1), и предположим, что в
момент t = 0 в ней создано δ-образное возмущение. Найдем, как это воз-
мущение эволюционирует во времени. Прежде всего перейдем в систему
отсчета (x
′
, t
′
), движущуюся со скоростью V = (v
1
+ v
2
)/2 относительно
исходной. В этой системе уравнения (1) перепишутся так:
∂F
∂t
′
− v
∂F
∂x
′
= εI ,
∂I
∂t
′
+ v
∂I
∂x
′
= εF , (4)
v = (v
2
−v
1
)/2. Выражая I из первого уравнения и подставляя во второе,
получаем, что F удовлетворяет уравнению второго порядка
∂
2
F
∂t
′
2
− v
2
∂
2
F
∂x
′
2
− ε
2
F = 0 . (5)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
