Составители:
Рубрика:
117
Рис. 2.25. К решению задачи 151. Эволюция δ-импульса в
среде с конвективной (а) и абсолютной (б ) неустойчиво-
стью.
При вычислении производной по времени необходимо учесть, что вы-
ражение в квадратных скобках претерпевает скачок при t
′
= x
′
/v высо-
той 1/(2v), поэтому в результате появляется дополнительное слагаемое,
пропорциональное δ-функции Дирака:
F (x
′
, t
′
) =
0 при t
′
< |x
′
|/v ,
1
2
δ(x
′
−vt
′
) +
εt
′
I
1
ε
√
t
′
2
−x
′
2
/v
2
2v
√
t
′
2
−x
′
2
/v
2
при t
′
≥ |x
′
|/v .
Решение для x
′
< 0 получается отсюда сменой знака перед x
′
.
Возвращаясь в исходную систему отсчета, получаем
F (x, t) =
0 при t < x/v
1
, t > x/v
2
,
1
2
[δ(x − v
1
t) + δ(x − v
2
t)] +
+
εtI
1
ε
p
t
2
− (x − V t)
2
/v
2
2v
p
t
2
− (x − V t)
2
/v
2
при x/v
1
≤ t ≤ x/v
2
.
(11)
Пользуясь этим выражением, легко установить поведение решения
в фиксированной точке пространства при t → ∞. При этом аргумент
функции Бесселя становится большим и можно воспользоваться ее асимп-
тотическим представлением I
0
(z) ∼ e
z
/
√
2πz при z → ∞. Отсюда оче-
видно, что распространение волны происходит так, как показано на
рис. 2.25. Между двумя δ-функциями, движущимися со скоростями v
1
и v
2
, бежит нарастающий горб.
Если v
1
> 0, v
2
> 0, в любой фиксированной точке через некоторое
время возмущение пробежит мимо и поле станет равным нулю, так что
мы имеем конвективную неустойчивость.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
