Составители:
Рубрика:
118
При v
1
< 0, v
2
> 0 оба импульса распространяются в разные стороны,
и область, охватываемая возмущением, расширяется . В фиксированной
точке x имеем нарастание по закону F (x, t) ∼ exp εt/
√
t при t → ∞, так
что в данном случае реализуется абсолютная неустойчивость.
154. Введем безразмерные частоту и волновое число соотношениями ˜ω =
= ω/ω
0
,
˜
k = kc/ω
0
, а также параметры β = v/c < 1 и ε = ω
p
/ω
0
и
перепишем дисперсионное уравнение в безразмерной форме:
(˜ω
2
−
˜
k
2
)(˜ω − β
˜
k −1) = ε˜ω
2
. (1)
Видно, что это уравнение отвечает трем связанным волнам, дисперси-
онные уравнения которых в отсутствии связи ( ε = 0) имеют вид ω = k,
ω = −k и ω = vk + 1. Здесь и в дальнейшем тильды над безразмерными
переменными будем опускать. Первые две волны отвечают электромаг-
нитным волнам, бегущим в противоположных направлениях, а третья
— быстрой циклотронной волне в электронном потоке, находящемся в
продольном магнитном поле.
Уравнение (1) ку бическое, поэтому его прямой анализ затрудните-
лен. Можно, однако, воспользоваться следующим приемом, позволяю-
щим качественно построить дисперсионные характеристики и выяснить
области параметров, при которых возможна неустойчивость. Введем ве-
личины x = ω/k и y = 1/k. Здесь x по существу является безразмерной
фазовой скоростью, а y — длиной волны. В новых переменных легко
выразить y через x:
y =
(x
2
− 1)(x − β)
(1 + ε)x
2
− 1
. (2)
Функция y(x) является отношением двух полиномов, ее график легко
построить. Она имеет нули в точках x = −1, x = β и x = 1 и полюса
в точках x = ±1/
√
1 + ε, соответственно, в зависимости от соотношения
между β и 1/
√
1 + ε, функция имеет качественно различный вид.
Для случая β < 1/
√
1 + ε график функции y(x) показан на рис. 2.26,а.
Из него видно, что для каждого значения y имеется ровно три действи-
тельных корня x. Это значит, что каждому действительному значению
волнового числа соответствует три значения частоты. Поскольку исход-
ное уравнение (1) имеет третий порядок относительно ω, то других кор-
ней нет. Значит при таком соотношении параметров неустойчивость от-
сутствует.
Дисперсионные характеристики в координатах (k, ω) легко перестро-
ить из графика 2.26,а. Для этого нужно исследовать предельное пове-
дение кривых дисперсии в одних и других переменных в характерных
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- …
- следующая ›
- последняя »
