Составители:
Рубрика:
116
Это уравнение следует дополнить начальными условиями F (x
′
, +0) =
= δ(x
′
), F
t
(x
′
, +0) = 0. Для решения начальной задачи используем метод
Лапласа. Применив преобразование Лапласа по времени к (5), получаем:
∂F (x
′
, p)
∂x
′
2
−
p
2
− ε
2
v
2
F (x
′
, p) = −
p
v
2
δ(x
′
) . (6)
Здесь F (x
′
, p) образ функции F (x
′
, t
′
). Решение уравнения (6) имеет вид
F (x
′
, p) = Ae
∓
√
p
2
−ε
2
x
′
/v
,
где верхний знак выбирается при x
′
> 0, а нижний — при x
′
< 0. Ре-
шения, нарастающие при |x
′
| → ∞, исключаются, чтобы существовало
обратное преобразование Лапласа. Константу A находим их гранично-
го условия dF/dx
′
|
+0
− dF/dx
′
|
−0
= −p/v
2
, которое получается из (6)
интегрированием по бесконечно малому интервалу, содержащему точку
x
′
= 0. Отсюда A = p/(2v
p
p
2
− ε
2
), и при x
′
> 0 можно записать:
F (x
′
, p) =
p
2v
p
p
2
− ε
2
e
−
√
p
2
−ε
2
x
′
/v
. (7)
Дальнейшие выкладки можно производить только для x
′
> 0, по-
скольку ответ должен быть четной функцией относительно x
′
. Исполь-
зуя обратное преобразование Лапласа, получаем
F (x
′
, t
′
) =
1
2πi
Z
L
p exp(−
p
p
2
− ε
2
x
′
/v)
2v
p
p
2
−ε
2
e
pt
′
dp . (8)
Интегрирование ведется по прямой, параллельно мнимой оси комплекс-
ной плоскости p, лежащей справа от особых точек подинтегрального
выражения. Это соотношение можно представить в виде
F (x
′
, t
′
) =
1
2v
∂
∂t
′
1
2πi
Z
L
exp(−
p
p
2
− ε
2
x
′
/v)
p
p
2
− ε
2
e
pt
′
dp
. (9)
Стоящий здесь интеграл является табличным [10], и результат равен
F (x
′
, t
′
) =
1
2v
∂
∂t
′
I
0
ε
q
t
′
2
− x
′
2
/v
2
θ(t
′
− x
′
/v)
. (10)
Здесь I
0
(z) — модифицированная функция Бесселя, θ(z) — функция-
ступенька: θ(z) = 0 если z < 0 и 1, если z > 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
