Составители:
Рубрика:
121
Рис. 2.28. К решению задачи 158. Х арактерное поведе-
ние дискриминанта дисперсионного уравнения в области
устойчивости (ε < ε
c
), в критической точке (ε = ε
c
) и в
области неустойчивости (ε > ε
c
).
Подставляя сюда выражение для D(k) получаем
ω
1
(k
0
, β) − ω
2
(k
0
, β) = 2ε ,
ω
′
1
(k
0
, β) − ω
′
2
(k
0
, β) = 0 ,
ω
′′
(k
0
, β) − ω
′′
(k
0
, β) > 0 .
(2)
Исключив отсюда k, получаем искомые уравнения, определяющие гра-
ницу зоны неустойчивости на плоскости параметров (ε, β). Отметим, что
это необходимые, но не достаточные условия, так как таким же уравне-
ниям подчиняется и локальный минимум фу нкции D(k). Поэтому для
каждой линии, найденной с помощью уравнений (2), необходима допол-
нительная проверка. Для этого можно, например, проверить на неустой-
чивость одну из точек на каждой из таких линий. Если неустойчивость
в этой точке есть, то такая линия соответствует локальному минимуму,
и вся она лежит в области неустойчивости.
Интересно задаться вопросом, какой тип неустойчивости возникает
при переходе через границу? Для ответа на него, можно воспользоваться
методом теории слабо связанных волн. Пусть при некотором β критиче-
ское значение параметра ε равно ε
c
. При ε < ε
c
неустойчивости в системе
нет, а при ε > ε
0
она появляется для волновых чисел, лежащих вблизи
k
0
. Если превышение критического значения мало, ε − ε
c
≪ ε
c
, то об-
ласть ширина области неустойчивости по волновым числам и частотам
также мала ∆k, ∆ω ∼
√
ε − ε
0
, поэтому в этой области дисперсионные
характеристики можно разложить в ряд Тейлора. Проще сделать это не
в исходной дисперсионном уравнении, а выражении (1). Положим в нем
ω = ω
0
+ ˜ω, k = k
0
+
˜
k, ω
0
= [ω
1
(k
0
) + ω
2
(k
0
)]/2, D(k) ≈ D
′′
(k
0
)(
˜
k)
2
/2,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »
