Составители:
Рубрика:
124
Отсюда получаем
√
1 + k
2
< ε. Из этого соотношения следует, что неустой-
чивость существует при ε > 1, причем возникает она для волновых чи-
сел, близких к k
0
= 0.
Пусть ε слегка превышает единицу. В этом случае в правой части
дисперсионного уравнения для малых волновых чисел можно записать
ε
2
/(1 + k
2
) ≈ ε
2
(1 − k
2
). Тогда оно принимает вид (ω − kv −1)(ω − kv +
+ 1) = ε
2
(1 − k
2
) или
[ω − (v + ε)k] [ω − (v − ε)k] = 1 − ε
2
.
Мы пришли к эталонному уравнению теории двух связанных волн, в
котором есть неустойчивость при ε > 1. Характер этой неустойчивости
определяется наклоном асимптот. Она будет конвективной при v > ε и
абсолютной при v < ε. Плоскость параметров показана на рис. 2.30.
165. Прежде всего поясним, что введение мнимой добавки в диспер-
сию одной из несвязанных волн отвечает бесконечно малому затуханию
этой волны в процессе распространения. Распространение гармониче-
ской волны с частотой ω происходит по закону exp[i(ωt − iBx + νx)].
Волна затухает при возрастании x (ν < 0), поэтому если в системе без
связи неустойчивости нет, то следует считать, что эта волна распростра-
няется вправо.
Нарисуем дисперсионные характеристики для связанных волн
(рис. 2.31). Область связи охватывает диапазон волновых чисел ∆k ∼ 1,
по этой причине при B >> 0 во взаимодействие вовлечена ветвь па-
раболы, соответствующая распространению второй несвязанной волны
направо, а при B << 0 — налево. Так как первая волна, как мы уста-
новили, распространяется направо, то в первом случае мы имеем вза-
имодействие однонаправленных волн и конвективную неустойчивость,
а во втором — разнонаправленных и абсолютную неустойчивость. При
|B| ∼ 1 все волны сильно взаимодействуют и разобраться с характером
неустойчивости не так просто.
Рис. 2.30. Плоскость параметров с различным поведением
системы для дисперсионного уравнения из задачи 160.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
