Составители:
Рубрика:
126
Если задано действительное значение B, то из второго уравнения можно
определить z и подставить в первое, чтобы определить положение сед-
ловой точки на плоскости ω. Относительно z второе уравнение является
кубическим, поэтому его решение дает либо три действительных корня,
либо одно действительное и два комплексно сопряженных. Оче видно,
что в первом случае все три седловые точки, полученные из первого
уравнения в (2), будут лежать на действительной оси в комплексной
плоскости ω, а во втором две комплексно сопряженные точки лежат
симметрично относительно этой оси, а третья находится на ней. Выход
одной из точек в нижнюю полуплоскость просходит при таком значении
B, когда кубическое уравнение 2z
3
+ 2Bz
2
−1 = 0 имеет комплексно со-
пряженные корни. Легко определить, что это происходит при B < B
c
=
= 3/2, следовательно при B > 3/2 в системе существует конвективная
неустойчивость, а при B < 3/2— абсолютная.
166. Прежде всего отметим, что система, рассматриваемая в это задаче,
представляет собой распределенный резонатор, у которого существует
бесконечный набор собственных частот. Причина их появления поясня-
ется на рис. 2.32. На нем показана дисперсионная характеристика неко-
торой среды, заключенной между двумя зеркалами, расстояние между
которыми L. Предположим, что зеркала идеально отражающие, тогда
по длине системы должно укладываться целое число полуволн, иначе
говоря, в системе возбуждаются только волновые числа, удовлетворяю-
щие соотношению k
i
= πi/L, где i — целое. Им соответствуют частоты
ω
i
= ω(k
i
). Это и есть собственные частоты резонатора. Их значения
определяются дисперсионной характеристикой среды и длиной системы.
Отметим, что при увеличении L точки на графике ω(k) все более плотно
заполняют дисперсионную кривую, так что в пределе L → ∞ собствен-
ные частоты существуют практически при любом заданном значении ча-
стоты из некоторых интервалов. Например для дисперсии, показанной
на рис. 2.32, собственные частоты бесконечно длинной системы плотно
заполняют интервал (0, ω
0
). Если зеркала не идеально отражающие и
их коэффициенты отражения зависят от частоты, то набор возможных
волновых чисел уже не будет эквидистантным, но все равно, при уве-
личении длины системы они будут более плотно заполнять всю ось k,
следовательно точки, отвечающие собственным частотам, будут также
плотно заполнять дисперсионную кривую.
Что изменится, если среда имеет потери или, наоборот, активная?
В этом случае значения возможных волновых чисел останутся такими
же, как и в пассивной среде, так как они определяются только длиной
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- …
- следующая ›
- последняя »
