Линейные колебания и волны: Сборник задач. Трубецков Д.И - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

128
Рис. 2.33. Усиливаемые и затухающие волны.
направлению их распространения, критерий такого разделения сформу-
лирован в решении задачи 150: те волны, у которых k
′′
(ω) → −∞ при
ω
′′
→ −∞, распространяются вправо, а те, у которых k
′′
(ω) → +∞ —
влево. Дисперсионные характеристики этих волн будем соответственно
обозначать k
+i
и k
−i
. В задаче 150 мы также установили, что волны из
первого класса, у которых k
′′
+i
> 0, и волны из второго класса, у которых
k
′′
−i
< 0 усиливаются в среде, а остальные — затухают, или, если мнимая
часть их волнового числа равна нулю, распространяются без усиления и
затухания. На рис. 2.33 схематически показана картина распространения
волн. Рядом с номером каждой волны стрелкой показано направление
ее распространения и приведена эпюра, изображающая изменение ам-
плитуды волны в пространстве. Волны 1 и 2 принадлежат классу {+}, а
волны 3 и 4 — классу {−}. При этом волны 1 и 3 усиливаются, а волны
2 и 4 — затухают.
Упорядочим ветви дисперсионного уравнения следующим образом:
при каждом комплексном значении частоты волны из класса {+} распо-
ложим в порядке уменьшения алгебраической величины мнимой части
волнового числа: k
′′
+1
≥ k
′′
+2
≥ . . . , а волны из класса {−} в порядке
увеличения алгебраической величины мнимой части волнового числа:
k
′′
−1
≤ k
′′
−2
≤ . . . . Если при фиксированной частоте нанести значения
k
i
(ω) на комплексную плоскость k, то корень k
+1
(ω) лежит выше всех
остальных корней из класса {+}, а корень k
−1
(ω) — ниже всех других
корней из класса {−}. Обозначим эти корни просто как k
′′
+
и k
′′
−
. Волны
k
+
и k
−
усиливаются сильнее всех остальных, либо затухают медленнее
всех остальных волн своего класса.
Пусть амплитуда волны k
+
вблизи зеркала левого зеркала равна
A
+
(0). При распространении до правого зеркала она станет равной
A
+
(0) exp(k
′′
+
L). Амплитуды остальных волн, бегущих вправо, либо уве-
личиваются не столь быстро, либо затухают, поэтому, при достаточно

Страницы