Составители:
Рубрика:
129
большой длине системы, в поле, падающем на правое зеркало, преобла-
дает волна k
+
. После отражения от зеркала часть энергии этой волны
переходит в волну k
−
с коэффициентом трансформации R
2
. Амплитуда
этой волны вблизи правого зеркала будет равна |R
2
|A
+
(0) exp(k
′′
+
L), а
на левом зеркале она станет равной |R
2
|A
+
(0) exp [(k
′′
+
− k
′′
−
)L]. Осталь-
ные бегущие налево волны затухают быстрее, и их вклад в полной поле
вблизи левого зеркала пренебрежимо мал. Наконец, при отражении в
точке x = 0 волна k
−
преобразуется в волну k
+
с коэффициентом транс-
формации R
1
, амплитуда последней в результате оказывается равной
A
+
(0)|R
1
||R
2
|exp[(k
′′
+
− k
′′
−
)L]. Чтобы цепь обратной связи замкнулась,
необходимо выполнение равенства
|R
1
||R
2
|exp[(k
′′
+
− k
′′
−
)L] = 1 .
Устремим в этом соотношении длину к бесконечности. Его левая часть
стремится к нулю или бесконечности, в зависимости от того, отрицатель-
на или положительна величина (k
′′
+
− k
′′
−
). Единственная возможность
сохранения равенства в пределе бесконечной длины, состоит в выполне-
нии условия
F (ω
′
, ω
′′
) = Im[k
+
(ω) −k
−
(ω)] = 0 . (1)
Это уравнение определяет на комплексной плоскости ω линию, на ко-
торой лежат точки, отвечающие собственным частотам системы. Если
L → ∞, то точки заполняют эту линию плотно
4
. Таким образом, если
какой-нибудь участок кривой, определяемой уравнением (1), лежит в
нижней полуплоскости ω, то в системе существует глобальная неустой-
чивость.
Сформулируем достаточное условие существования глобальной неус-
тойчивости, проверка которого обычно более проста, чем использование
условия (1). Пусть при некотором действительно ω = ω
0
выполняется
F (ω
0
, 0) > 0. Это значит, что корень k
+
(ω
0
) лежит выше на комплексной
плоскости k корня k
−
(ω
0
). Будем уменьшать мнимую часть ω от нуля
до −∞, при этом k
+
должен сдвигаться вниз, а k
−
— вверх, так что при
некотором конечном ω
′′
< 0 условие (2) будет выполнено, следовательно
в системе будет су ществовать глобальная неустойчивость. Подчеркнем,
что это д остаточное, но не необходимое условие.
Точно таким же образом можно показать, что если глобальная неус-
тойчивость отсутствует, то необходимо, чтобы F (ω
′
, 0) ≤ 0 при всех ω
′
.
4
Подчеркнем, что функ ция F (ω
′
, ω
′′
) не является аналитической функ цией ком-
плексной частоты ω.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
