Составители:
Рубрика:
132
Следовательно, в дисперсионном уравнении (3) для частот близких
к ω
⋆
, можно скобку, соответствующую третьей волне, заменить на 2ω
⋆
,
а в двух других скобках все величины разложить в ряд относительно
˜
k = k − k
⋆
и ˜ω = ω − ω
⋆
. Таким образом, в системе связанных волн
дисперсия первых двух волн определяется квадратным уравнением
˜ω − V
˜
k − iγ
˜ω − v
˜
k
= −ε
2
, . (4)
а дисперсию третьей волны можно считать не изменившейся по сравне-
нию со случаем невзаимодействующих волн:
ω
3
(k) = −V k + iγ . (5)
В уравнениях (4) и (5) введены обозначения V = ω
′
1
(k
⋆
) = c
2
/v, γ =
= d/(2ω
⋆
), ε
2
= ε
3
0
/(2ω
⋆
). Решив квадратное уравнение (4) относительно
˜
k, получаем
˜
k
1,2
(˜ω) =
1
2
1
V
+
1
v
˜ω −i
γ
V
±
s
1
V
−
1
v
˜ω − i
γ
V
2
−
4ε
2
V v
. (6)
Как будет показано ниже, при действительных ˜ω мнимая часть квад-
ратного корня в этом выражении всегда больше, чем γ/V , поэтому Im k
1
>
0, Im k
2
< 0. Поскольку обе волны, как было установлено, распространя-
ются направо, то корень k
1
соответствует усиливаемой волне, а корень
k
2
— затухающей.
Для использования критерия (2) требуется найти максимум Im k
1
(ω)
как функции действительной частоты. Обозначим Z = w + iu = (1/V −
− 1/v)˜ω − iγ/V , a
2
= 4ε
2
/V v, тогда комплексный корень в (6) можно
записать как
p
Z
2
− a
2
= s + it .
(величины s, t, w, u действительные). Возводя в квадрат это выражение,
после простых преобразований получаем:
w
2
= −
(t
2
−u
2
− a
2
) t
2
t
2
− u
2
.
Это соотношение можно рассматривать как связь между величинами t
2
и w
2
при фиксированном u
2
. График функции w
2
(t
2
), построенный с
учетом того, что обе эти величины не отрицательны, приведен на рис.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- …
- следующая ›
- последняя »
