Составители:
Рубрика:
60
где ϕ — угол отклонения от верхнего положения равновесия, ω
0
=
p
g/l.
Решение этого уравнения, подчиняющееся необходимым начальным усло-
виям есть ϕ(t) = ϕ
0
[exp(ω
0
t) + exp(−ω
0
t)]/2. При t = T получаем урав-
нение
e
ω
0
T
+ e
−ω
0
T
= 200 .
Очевидно, что первое слагаемое значительно больше второго, поэтому
T ≈
1
ω
0
ln 200 =
s
l
g
ln 200 = 1.69 с .
54. Выясним, как выглядит потенциальная яма, для чего найдем две
первые производные функции U(x):
U
′
(x) =
U
0
l
3(x/l)
3
− p
, U
′′
(x) =
6U
0
x
l
3
.
Очевидно, что при p > 0 функция U (x) имеет экстремумы, расположен-
ные в точках x = ±l
p
p/3. Левый из этих экстремумов соответствует
максимуму, а правый — минимуму потенциала. Вид потенциальной ямы
показан на рис. 2.4 Неустойчивое положение равновесия соответствует
максимуму U(x), поэтому оно существует только при p > 0. В точках экс-
тремума вторая производная принимает значения ±2
√
3pU
0
/l
2
(верхний
знак соответствует минимуму), потому, вводя вблизи точки минимума
новую переменную ξ = x−x
min
, для нее получаем уравнение
¨
ξ +ω
2
ξ = 0,
где ω
2
= U
′′
(x
min
)/m, m — масса частицы. Аналогично вблизи максиму-
ма потенциала, ξ = x −x
max
, и
¨
ξ − ω
2
ξ = 0.
55. Используем для исследования устойчивости состояния равновесия
динамической системы критерий Рауса-Гурвица, который состоит в сле-
дующем. Пусть характеристическое уравнение системы, линеаризован-
ной вблизи точки равновесия, имеет вид
∆(p) = a
0
p
n
+ a
1
p
n−1
+ . . . + a
n−1
p + a
n
= 0 , (1)
причем a
0
> 0. Уравнение (1) имеет n корней p
m
= Re p
m
+i Im p
m
. Зада-
ча об устойчивости сводится к оценке их расположения на комплексной
плоскости p. Если все корни расположены в левой полуплоскости (слева
от мнимой оси), то состояние равновесия экспоненциально устойчиво.
Если имеется хоть один корень в правой полуплоскости, то равновесие
неустойчиво.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- …
- следующая ›
- последняя »
