Составители:
Рубрика:
105
на осциллятор чем все остальные благодаря резонансу
1
. В таком случае
ξ(t) ≈
p
a
2
n
+ b
2
n
p
(ω
2
0
− p
2
n
)
2
+ 4γ
2
p
2
n
cos(p
n
t + χ
n
+ ψ
n
) . (6.5)
Если же все гармоники находятся вне резонанса, то их результирую-
щее воздействие определяется, в основном, скоростью спадания амплитуд
a
n
и b
n
с ростом n.
Таким образом, резонанс возможен не только под действием гармо-
нической внешней силы, но и когда внешняя сила периодическая, следо-
вательно данное выше определение резонанса требует обобщения. Резо-
нанс под действием периодической внешней силы будет возникать, е сли
собственная частота системы близк а к частоте одной из фурье-гармоник
силы p
n
= 2πn/T, и амплитуда этой гармоники
p
a
2
n
+ b
2
n
не равна нулю.
Часто пользуются комплексной формой записи ряда Фурье:
F (t) =
∞
X
n=−∞
c
n
e
i2πnt/T
, (6.6a)
где
c
n
=
1
T
T
Z
0
F (t)e
−i2πnt/T
dt . (6.6b)
Связь между представлениями (6.1) и (6.6a) легко получить, если вос-
пользоваться условием, что функция F (t) — действит ельная. Тогда c
n
=
= c
∗
−n
и формулу (6.6a) можно переписать в виде
F (t) = c
0
+
∞
X
n=1
c
n
e
i2πnt/T
+ c
∗
n
e
−i2πnt/T
=
= c
0
+ 2
∞
X
n=1
c
0
n
cos
2πnt
T
− c”
n
sin
2πnt
T
.
Здесь c
0
n
и c”
n
— действит ельная и мнимая части c
n
. Сравнивая это соот-
ношение с формулой (6.1), получаем, что c
0
= a
0
, a
n
= 2c
0
n
,
b
n
= −2c”
n
, χ
n
= Arg c
n
. Формула (6.4) при этом принимает вид
ξ(t) =
c
0
ω
2
0
+
∞
X
n=1
2|c
n
| cos(p
n
t + χ
n
+ ψ
n
)
p
(ω
2
0
−p
2
n
)
2
+ 4γ
2
p
2
n
. (6.7)
1
Предполагается, естественно, что для этого значения n выполняется условие
√
a
2
n
+ b
2
n
6= 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
