Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

107
Решение уравнения (6.10) ищем в виде a(t) = A(t) exp[(−γ − iω)t];
для A(t) получается уравнение
˙
A = (γ + iω) exp[(γ + iω)t] F (t)/ω
2
0
, про-
интегрировав которое и подставив результат в формулу для комплексной
амплитуды, получаем
a(t) =
γ + iω
ω
2
0
t
Z
0
e
−(γ+iω)(t−t
0
)
F (t
0
) dt
0
. (6.14)
Используя это выражение в первом из уравнений (6.13), будем иметь
x(t) =
1
ω
t
Z
0
e
−γ(t−t
0
)
sin ω(t − t
0
) F (t
0
) dt
0
. (6.15)
При выводе (6.15) предполагалось, что сила нач инает действовать на
неподвижный осциллятор в момент времени t = 0. Если начальные ко-
ордината и (или) скорость осциллятора ненулевые, то к (6.15) следует
добавить слагаемые, соответствующие собственным затухающим колеба-
ниям. Другой вариант начальных условий состоит в том, что к моменту
времени t сила действует достаточно долго. В этом случае в уравнении
(6.15) нижний предел инте грирования следует заменить на −∞.
Если потерь нет (γ = 0), то формулу (6.15) можно преобразовать к
виду x(t) = A(t) cos ω
0
t + B(t) sin ω
0
t, где
A(t) = −
1
ω
0
t
Z
0
sin ω
0
t
0
F (t
0
) dt
0
, B(t) =
1
ω
0
t
Z
0
cos ω
0
t
0
F (t
0
) dt
0
. (6.16)
Если, например, F (t) = F
0
sin ω
0
t, то A(t) = (F
0
/2ω
0
)[t −sin(2ω
0
t)/(2ω
0
)]
и при t → ∞ решение неограниченно — получаем секулярный ро ст. Оче-
видно, что если с ростом t коэффициенты A(t) и B(t) остаются малыми,
то резонанса в системе нет. Таким образом, условие отсутствия резонанса
записывае тся в виде
lim
T →∞
1
T
T
Z
0
sin ω
0
t
0
cos ω
0
t
0
F (t
0
) dt
0
= 0 . (6.17)
Математически это соотношение означает, ч то функция F (t) не долж-
на содержать собственных функций задачи. В общем случае, когда за-
тухание не равно нулю, математически строгое определение резонанса
(6.17) заменяется физическим условием “значительного возрастания ам-
плитуды колебаний”.

Страницы