Составители:
Рубрика:
106
§ 2. Произвольная внешняя сила
Уравнение гармонического осциллятора допускает точное решение для
вынужденных колебаний и в случае произвольной внешней силы. Для вы-
вода соответствующей формулы воспользуемся переходом к нормальным
колебаниям. Для этого перепишем уравнение (5.3) в виде двух уравнений
первого порядка
˙x = v , (6.8a)
˙v = −2γv − ω
2
0
x + F (t) (6.8b)
Умножая второе из этих уравнений на коэффициент β и складывая со
вторым, получаем
d
dt
(x + βv) = −βω
2
0
x −
1 − 2γβ
ω
2
0
β
v
+ βF (t) . (6.9)
Потребуем, чтобы выражения в круглых скобках справа и слева совпали,
это выполняется, если β = −(1 − 2γβ)/(ω
2
0
β), или
ω
2
0
β
2
− 2γβ + 1 = 0 .
Отсюда находим ω
2
0
β
1,2
= (γ ±
p
γ
2
− ω
2
0
) = (γ ±iω). Подстановка β = β
1
в (6.9) приводит к уравнению
da
dt
= −(γ + iω)a +
γ + iω
ω
2
0
F (t) , (6.10)
а подстановка β = β
2
— к уравнению
da
∗
dt
= −(γ − iω)a
∗
+
γ − iω
ω
2
0
F (t) , (6.11)
где a(t) и a
∗
(t) — нормальные колебания (см. главу 3), равные
a(t) = x +
γ + iω
ω
2
0
v , a
∗
(t) = x +
γ − iω
ω
2
0
v , (6.12)
Обратив эти формулы, запишем выражения для x(t) и v(t) через нор-
мальные колебания:
x =
1
2
[(1 + iγ/ω) a + (1 − iγ/ω) a
∗
] , v =
ω
2
0
2iω
(a − a
∗
) . (6.13)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
