Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

168
§ 3. Парциальные системы и парциальные
частоты
Важную роль в теории связанных колебания играют понятия парци-
альных систем и парциальных частот. Для их введения рассмотрим систе-
му двух связанных осцилляторов самого общего вида, для которой кине-
тическая и потенциальная энергии задаются формулами (8.5) и положим,
например, x
2
≡ 0. Это означает, что второй осциллятор принудительно
удерживается в положении равновесия. Полученная система с одной сте-
пенью свободы имеет кинетическую энергию m
11
˙x
2
1
/2 и потенциальную
энергию k
11
x
2
1
/2, что соответствует гармоническому осциллятору
¨x
1
+
k
11
m
11
x
1
= 0
с частотой n
1
=
p
k
11
/m
11
. Наоборот, если положить x
1
≡ 0, та же
процедура приводит к уравнению осциллятора
¨x
2
+
k
22
m
22
x
2
= 0
с частотой n
2
=
p
k
22
/m
22
. Системы с одной степенью свободы, полу-
ченные из исходной в результате того, что одна из переменных прину-
дительно обращается в нуль, называются парциальными системами, а
соответствующие им частоты колебаний — парциальными частотами.
Найдем парциальные системы для связанных маятников (рис. 8.1,а).
Для этого закрепим правый маятник в положении равновесия (ϕ
2
≡ 0)
и получим систему с одной степенью свободы, совершающуя гармониче-
ские колебания с частотой n
1
=
p
g/l
1
+ kl
2
/(m
1
l
2
1
). Если закрепить ле-
вый маятник, то частота колебаний будет равна n
2
=
p
g/l
2
+ kl
2
/(m
2
l
2
2
).
Это и есть парциальные частоты. Дадим более строгое определение пар-
циальных систем и частот, применимое к колебательным системам с N
степенями свободы.
Пусть имеется линейная динамическая система с N степенями сво-
боды, описываемая динамическими переменными x
i
, i = 1, 2, . . . , n. По-
ложим x
j
≡ 0 для j = 1, 2, . . . , i − 1, i + 1, . . . , n. Новая система с одной
степенью свободы называется i-й парциальной системой. Есл и она совер-
шает гармоническ ие колебания, то соответствующая частота называется
i-й парциальной частотой.
Важно подчеркнуть два обстоятельства:

Страницы