Составители:
Рубрика:
173
а коэффициент r
2
определяет относительный вклад во вторую собствен-
ную моду со стороны первого осциллятора. Используя формулу (8.28), r
1
и r
2
можно представить в виде
r
1
=
r
¯m
1
¯m
2
r , r
2
= −
r
¯m
2
¯m
1
r ,
где
r =
q
n
2
2
− n
2
1
2
+ 4k
2
/( ¯m
1
¯m
2
) −
n
2
2
− n
2
1
2k/
√
¯m
1
¯m
2
> 0 . (8.29)
Решения, соответствующие собственным типам колебаний, удобно запи-
сать в матричной форме
x
1
(t)
x
2
(t)
1
=
1
r
1
Re
A
1
e
iω
1
t
,
x
1
(t)
x
2
(t)
2
=
r
2
1
Re
A
2
e
iω
2
t
, (8.30)
где A
1
и A
2
— комплексные амплитуды собственных типов колебаний. В
общем случае, когда возбуждены обе моды, решение имеет вид
x
1
(t)
x
2
(t)
=
1
r
1
Re
A
1
e
iω
1
t
+
r
2
1
Re
A
2
e
iω
2
t
. (8.31)
Две комплексных амплитуды A
1
и A
2
дают четыре действительных посто-
янные, которых достаточно, чтобы удовлетворить произвольные началь-
ные условия системы с двумя степенями свободы.
Матрицы-столбцы
1
r
1
и
r
2
1
называются собственными векторами
колебаний с частотами ω
1
и ω
2
, и они имеют следующий смысл: если в
системе связанных осцилляторов возбуждено колебание с одной из соб-
ственных частот, то компоненты собственных векторов дают относитель-
ные амплитуды и фазы колебаний каждого из осцилляторов. Такое опре-
деление работает в общем случае системы N связанных осциллят оров,
для которой существует N собственных частот и столько же собственных
векторов. Собственные векторы определены с точностью до произвольно-
го постоянного множит еля, что является следствием линейности системы.
Рассмотрим такие же начальные условия, как и в случае идентичных
осциллят оров. При t = 0 потребуем, чтобы x
1
(0) = x
0
, x
2
(0) = 0, ˙x
1
(0) =
= 0, ˙x
2
(0) = 0: первый осциллятор отклонен на величину x
0
, второй
находится в равновесии, скорости обоих равны нулю. Легко показать,
что при таких граничных условиях амплитуды собственных мод равны
A
1
=
x
0
1 − r
1
r
2
, A
2
= −
r
1
x
0
1 − r
1
r
2
. (8.32)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- …
- следующая ›
- последняя »
