Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

176
Это дает
ω
2
1
≈ n
2
1
1 −
n
2
n
1
ρ
ρn
1
n
2
n
2
2
− n
2
1
,
ω
2
2
≈ n
2
2
1 +
n
1
n
2
ρ
ρn
1
n
2
n
2
2
− n
2
1
,
r ≈
ρn
1
n
2
n
2
2
− n
2
1
.
(8.41)
В соответ ствии с условием (8.39), r 1, а сдвиг собственных частот
относительно парциальных имеет второй порядок малости. Поэтому фор-
мулы (8.33) можно переписать в виде
x
1
(t) ≈ x
0
cos n
1
t ,
x
2
(t) ≈ 0 .
Каждый осциллятор совершает колебания с частотой, близкой к его пар-
циальной частоте, амплитуда колебаний первого осциллятора близка к
величине его начального отклонения x
0
, а амплитуда колебаний второго
осциллятора близка к нулю.
Теперь обратимся к случаю сильной связанности (8.40). На этот раз
под квадратным корнем первое слагаемое гораздо меньше второго. Рас-
кладывая квадратный корень в ряд, и ограничиваясь первыми неисчеза-
ющими слагаемыми, получаем
ω
2
1
≈
1
2
n
2
1
+ n
2
2
− ρn
1
n
2
,
ω
2
2
≈
1
2
n
2
1
+ n
2
2
+ ρn
1
n
2
,
r ≈ 1 −
n
2
2
− n
2
1
2ρn
1
n
2
,
(8.42)
Дальнейший анализ можно провести, если обратить внимание на сле-
дующее обстоятельство. Мы считаем, чт о выполняются одновременно и
условие слабой связи ρ 1 и условие сильной связанности (8.40), по-
этому можно записать следующую цепочку неравенств
1 ρ
n
2
2
− n
2
1
2n
1
n
2
=
n
2
− n
1
(n
1
+ n
2
)/2
n
1
+ n
2
2
√
n
1
n
2
2
≥
n
2
− n
1
(n
1
+ n
2
)/2
.
Это означает, что относительная расстройка парциальных частот очень
мала, и существует еще один малый параметр ∆n/n, где ∆n = n
2
− n
1
,

Страницы