Составители:
Рубрика:
19
направлена в сторону, противоположную смещению бруска. Динамику
системы описывает второй закон Ньютона m¨x = −kx, что очевидно сов-
падает с уравнением (1.2), причем ω
2
0
= k/m. Подчеркнем, что в общем
случае больших деформаций сила F (x) не является линейной функцией
x, поэтому такие колебания будут нелинейными.
Маятник. Рассмотрим простейший случай, когда маятник представляет
собой точечную массу m на невесомом жестком стержне длиной l, ко-
торый может свободной вращаться вокруг оси, проходящей через один
из его концов (рис. 1.2,б). Уравнение вращательного движения I ¨ϕ = M
(I = ml
2
— момент инерции маятника, M = −mgl sin ϕ — момент силы
тяжести, ϕ — угол поворота маятника) приводится к виду
¨ϕ + ω
2
0
sin ϕ = 0 , (1.11)
где ω
2
0
= g/l. Это уравнение называется уравнением математическо-
го маятника. Считая угол отклонения маятника от нижнего положения
равновесия малым, можно положить sin ϕ ≈ ϕ, в результате чего вновь
получается уравнение линейного о сциллятора. Отметим, что сделанное
приближение означает, что возвращающий (знак минус в формуле для
M!) момент сил пропорционален углу поворота.
Колебательный контур. В этом случае уравнение получается из закона
Киргофа L
˙
I+V
c
= 0 (V
c
— напряжение на конденсаторе), записанного для
замкнутого контура (рис. 1.2,в). Заряд на конденсаторе функционально
связан с приложенным напряжением: Q = Q(V
c
), эта зависимость носит
название вольт-фарадной характеристики. Если конденсатор заполняет
обычный диэлектрик, то при малых напряжениях можно положить Q =
= V
c
/C, где C — линейная емкость. Тогда, учитывая соотношение I =
˙
Q,
получаем уравнение осциллятора
¨
Q + 1/(LC)Q = 0. Собственная частота
колебаний равна ω
0
=
p
1/LC.
Во всех рассмотренных примерах уравнение гармонического осцил-
лятора получается с помощью замены некоторой функциональной связи
между физическими величинами, характеризующими состояние системы,
линейным соотношением. Такая замена возможна, если отклонение си-
стемы о т положения равновесия мало. Подобная процедура называется
линеаризацией и она эквивалентна, как мы видели, замене выражения
для потенциальной энергии полиномом второй степени.
То обстоятельство, что уравнения для всех систем совпадают, позво-
ляет распространить выводы, получаемые для одной из них, на осталь-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
