Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

21
превращение молекул вещества A в молекулы вещества X. Эта реакция
нулевого порядка протекает с постоянной скоростью k
0
. Далее, X пре-
вращается в Y с тем большей скоростью, чем больше концентрация Y
(это обстоятельство в кинетической схеме отмечено обратной стрелкой
над Y). Эта реакция является реакцией второго порядка. Н аконец, моле-
кулы Y необратимо распадаются, образуя вещество B (реакция первого
порядка). Используя правила составления кинетических уравнений [6] и
сохранив для концентрации веществ обозначения A, X, Y и B, запишем
математическую модель реакции Лотки в следующем виде:
˙
X = k
0
−k
1
XY ,
˙
Y = k
1
XY − k
2
Y ,
˙
B = k
2
Y . (1.12)
Если концентрации X и Y не меняются во времени, то реакция может
протекать так, что скорость образования B будет постоянной.
Сказанному соответствуют условия
˙
X =
˙
Y = 0, или
k
0
− k
1
X
0
Y
0
= 0 , k
1
X
0
Y
0
− k
2
Y
0
= 0 , (1.13)
где X
0
и Y
0
— равновесные концентрации. Из системы (1.13) следует, что
X
0
= k
2
/k
1
, Y
0
= k
0
/k
2
. (1.14)
Предположим, что существуют малые отклонения x(t) и y(t) от рав-
новесных значений концентраций X
0
, Y
0
, т.е. будем считать X(t) = X
0
+
+x(t), Y (t) = Y
0
+y(t), причем |x| X
0
, |y| Y
0
. Подставляя выражения
для X(t) и Y (t) в первые два уравнения системы (1.12), учитывая (1.14)
и пренебрегая произведениями переменных величин как членами второго
порядка малости, получим
˙x = −k
2
y − (k
1
k
0
/k
2
)x , ˙y = (k
1
k
0
/k
2
)x . (1.15)
Система уравнений (1.15) сводится к уравнению линейного осциллят ора
(1.1), если формально обозначить k
1
k
0
/k
2
= 2γ, k
1
k
0
= ω
2
0
. Разумеется,
нелинейная система уравнений (1.12) богаче решениями, чем уравнение
линейного осциллятора (1.1), которое получилось из нее лишь в силу сде-
ланных допущений о малости возмущений концентрации. Если сохранить
нелинейность, то модель Лотки может служит ь составным элементом бо-
лее сложных периодических химических реакций.
Самая известная из колебательных химических реакций — реакция
Белоусова - Жаботинского [7, 8]. В ней периодически (примерно раз в
секунду) происходит изменение цвета раствора, в котором идет ре акция

Страницы