Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

23
Подобно тому, как мы поступали в случае моде ли Лотки, найдем со-
стояния равновесия N
0
1
и N
0
2
. Из уравнений (1.18) при
˙
N
1
= 0 и
˙
N
2
= 0
имеем
N
0
1
= ε
2
/γ
1
N
0
2
= ε
1
/γ
2
. (1.19)
Для малых отклонений численности видов от стационарных значений
(N
1
(t) = N
0
1
+ n
1
(t) и N
2
(t) = N
0
2
+ n
2
(t)) после линеаризации уравне-
ний (1.18) получим
˙n
1
= −γ
2
N
0
1
n
2
= −(γ
2
ε
2
/γ
1
)n
2
,
˙n
2
= γ
1
N
0
2
n
1
= (γ
1
ε
1
/γ
2
)n
1
.
(1.20)
Дифференцируя первое уравнение системы ((1.20) по времени и исполь-
зуя второе уравнение, приходим к уравнению для гармонического осцил-
лятора:
¨n
1
+ ω
2
0
n
1
= 0 , (1.21)
где ω
2
0
= ε
1
ε
2
(такое же уравнение получается и для n
2
). Если в (1.21)
ввести обозначение n
1
= x, то приходим к уравнению (1.2).
Отметим, что в уравнениях (1.18) существует еще одна точка равно-
весия N
0
1
= 0, N
0
2
= 0, вблизи которой система ведет себя совершенно
иначе, чем гармонический осцилля тор. Это поведение будет более подроб-
но исследовано в главе 2.
§ 4. “Экономический маятник” — линейные колебани я в простой
модели экономики [10]
Будем называть экономическую систему замкнутой, если весь произ-
веденный продукт либо потребляется, либо вкладывается в рамках этой
же экономической системы, т.е. отсутствуют экспорт, импорт и приток
капитала извне. Пусть Y — объем производства, C — потребление, I —
капиталовложения. Для некоторой замкнутой экономической системы в
момент времени t можно написать Y = C + I. Если имеет место при-
ток капитала (например, правительственные расходы G), то экономика
уже перестает быть замкнутой и объем производства увеличивается на
величину G:
Y = C + I + G . (1.22)

Страницы