Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 197 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

197
Исследуем вопрос, насколько влияют на полученные результаты усло-
вия на концах цепочки, или, другими словами, граничные условия? Что-
бы выяснить е го, рассмотрим цепочку, в которой самый правый осцилля-
тор не закреплен, а свободен. Тогда вместо уравнения (8.70c) для него
следует записать уравнение
−ω
2
− ω
2
0
+
k
m
X
N+1
=
k
m
X
N
. (8.75)
Решение вновь ищем в виде X
n
= A sin ψn, тогда, как и в предыдущем
случае, уравнение (8.70a) выполняется автоматически, из (8.70b) следует
соотношение (8.71), а из (8.75), после простых преобразований получаем,
что должно выполняться sin(ψ/2) cos ψ(2N + 3/2) = 0. Так как первый
множитель не может быть равен нулю (в противном случае все X
n
≡ 0),
то отсюда следует, что
ψ
j
=
(2j − 1) π
2(N + 1) + 1
, j = 1, 2, . . . , N + 1 . (8.76)
Мы получили, что значения собственных частот лежат на плоскости с ко-
ординатами (ψ, ω) на той же самой кривой (8.71), что и в случае цепочки
с закрепленными концами, однако они смещены относительно значений
(8.73), так как их координаты вдоль оси ψ теперь задаются формулой
(8.76). Расстояние между соседними точками спектра вдоль этой оси сно-
ва эквидистантно, но оно не равно расстояниям между двумя крайними
точками спектра, для которых j = 1 и j = N + 1 и предельными точками,
для которых ψ = 0 и ψ = π. Отметим, что и в данном случае количество
собственных мод совпадает с числом степеней свободы системы.
Задача 8.2. Постройте распределения амплитуд колебаний осцилляторов
нескольких первых мод для цепочки, закрепленной только на одном конце,
и покажите, что они соответствуют условию, что по длине системы должно
укладываться нечетное число четвертей длины волны.
Использованный метод решения разностных уравнений можно исполь-
зовать и в случае других условий на концах цепочки. Например, можно
рассмотреть ситуацию, когда один, или оба крайних осциллятора отлича-
ются от всех остальных осцилляторов по массе. Подобное рассмотрение
позволяет сделать некоторые выводы об общих свойствах пол ученных
решений, которые не зависят от конкретного вида граничных условий:

Страницы