Составители:
Рубрика:
199
имеющей температуру T , то его средняя энергия выражается формулой
E =
~ω
i
e
~ω
i
/k
b
T
− 1
,
где ~ — постоянная Планка, k
b
— постоянная Больцмана [17]. Тогда
внутренняя энергия всей среды равна
E(T ) =
∞
Z
0
E(ω)ρ(ω) dω . (8.78)
Это соотношение можно использовать, в частности, для построения те-
ории теплоемкости кристалла, если вычислить для него плотность рас-
пределения ρ(ω). Отсюда видно, что эта функция играет чрезвычайно
важную роль в теоретической физике.
Вычислим плотность распределения для модели связанных идентич-
ных маятников, предположив, что их число N очень велико. Тогда, обра-
тив уравнения (8.71) и (8.72), получаем
j(ω) =
2(N + 1)
π
arcsin
s
ω
2
− ω
2
0
4k/m
,
откуда, используя формулу ρ(ω) = dj/dω, будем иметь
ρ(ω) =
2(N + 1)
π
ω
p
(ω
2
− ¯ω
2
1
) (¯ω
2
2
− ω
2
)
. (8.79)
Функция ρ(ω) для этого случая показана на рис. 8.12. Видно, что вблизи
границ спектра ρ(ω) обращается в бесконечность по закону
ρ ∼
1
√
ω − ¯ω
1
, ω − ¯ω
1
¯ω
1
,
ρ ∼
1
√
¯ω
2
− ω
, ¯ω
2
− ω ¯ω
2
.
(8.80)
Это обстоятельсто является отражением свойства сгущения собственных
частот вблизи краев спектра, о котором упоминалось выше.
Сгущение спектра происходит вблизи тех точек кривой ω(ψ), где она
носит “пологий” характер, т. е. там, где dω/dψ = 0. Действительно, так
как спектр вдоль оси ψ эквидистантный, то для бесконечно малых ∆ω и
∆ψ можно записать
∆ω =
dω
dψ
∆ψ ∼
dω
dψ
∆n ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- …
- следующая ›
- последняя »
