Составители:
Рубрика:
257
стратификацию жидкости, т. е. зависимость плотности жидкости от вер-
тикальной координаты. В частности, плотность морской воды зависит от
давления, температуры и относительного содержания массы растворен-
ных солей, которые меняются с глубиной [5–7]. Соответствующее обоб-
щение приводит к тому, что уравнение Эйлера вместо (11.2) примет вид
ρ
∂v
∂t
+ (v∇)v
= −∇p − 2ρ[Ωv] − ρg∇z . (11.16)
Здесь Ω — угловая скорость вращения Земли, ∇z — единичный вектор
вертикальной оси координат; a
вн
заменено на g, поскольку жидкость на-
ходится в поле тяжести.
Предположим теперь, что длины интересующих нас волн много мень-
ше радиуса Земли, и будем решать (11.16) и (11.4) на плоскости, соприка-
сающейся со сферической Землей в данной точке, Оси соответствующей
прямоугольной системы координат направлены следующим образом: ось
z — вертикально вверх, ось x — по параллели, с запада на восток, ось
y — по меридиану с юга на север. Линеаризуем уравнения относительно
некоторого состояния покоя, в котором плотность и давление суть функ-
ции только z. Пусть p = p
0
(z) + p
0
(x, y, z, t), ρ = ρ
0
(z) + ρ
0
(x, y, z, t), где
p
0
, ρ
0
p
0
, ρ
0
. Заметим, что v = v
0
(x, y, z, t), так же как и p
0
и ρ
0
, есть
величина первого порядка малости. Тогда из уравнений (11.16) и (11.4)
получим
∂v
0
∂t
= −2[Ωv
0
] −
1
ρ
0
∇p
0
− g
ρ
0
ρ
0
∇z , (11.17)
∂ρ
0
∂t
= −ρ
0
div v
0
− v
0
∇ρ . (11.18)
Уравнение состояния (11.8) в линейном прибл ижении имеет вид
d
dt
(ρ
0
+ ρ
0
) =
1
c
2
d
dt
(p
0
+ p
0
) ,
или
∂ρ
0
∂t
+ v
z
∂v
0
∂z
=
1
c
2
∂ρ
0
∂t
+ v
z
∂p
0
∂z
.
где c(z) = 1/
p
(∂p/∂ρ)
S
— адиабатическая скорость звука. Учитывая, что
∂p
0
/∂z = −ρ
0
g, окончательно получаем
∂ρ
0
∂t
+ v
z
∂v
0
∂z
=
1
c
2
∂ρ
0
∂t
− ρ
0
gv
z
. (11.19)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 255
- 256
- 257
- 258
- 259
- …
- следующая ›
- последняя »
