Составители:
Рубрика:
265
и
v
гр
= C
2
p
gh . (11.46)
Поскольку k = ω/c, из (11.45) и (11.46) получаем следующие законы
дисперсии для гравитационных волн в двух предельных случаях:
kH 1 , ω(k) = C
1
√
2πgk — глубокая вода , (11.47)
kH 1 , ω(k) = C
2
k
√
gH — мелкая вода . (11.48)
Проведенный а нализ не строг. Мы не можем найти в его рамках C
1
и
C
2
. Для их определения воспользуемся уравнениями (11.42) и (11.43). Ес-
ли решение уравнения (11.42) V(z) = A
1
exp(ξz)+A
2
exp(−ξz) подставить
в граничные условия (11.43), то из условия совместности получившейся
алгебраической системы уравнений с неизвестными A
1
и A
2
, находим
дисперсионное уравнение для поверхностных волн в жидкости конечной
глубины:
e
−ξH
e
ξH
g − ω
2
/ξ g + ω
2
/ξ
= 0 или ω
2
= ξg th(ξH) . (11.49)
Легко видеть, что
ω =
p
ξg при ξH 1 , (11.50)
ω = ξ
p
gH[1 −(ξH)
2
/6 + . . . ] при ξH 1 . (11.51)
Таким образом, в случае, когда, например ξ = k
x
= k, в (11.47) и (11.48)
C
1
= 1/
√
2π, C
2
= 1. Из формул (11.45)-(11.46) при ξ = k
x
= k следует,
что при kH → 0 (мелкая жидкость) фазовая скорость v
ф
стремится к
постоянному пределу
√
gH — дисперсия слабая. На глубокой воде дис-
персия всегда есть ω ∼
√
k; она связана с нелокальной зависимостью
между давлением и глубиной жидкости.
Гравитационные волны о бладают отрицательной дисперсией, посколь-
ку v
ф
= [(g/k) th(kH)]
1/2
уменьшается с ростом частоты. Групповая ско -
рость v
гр
= dω/dk тоже уменьшается с ростом частоты, поэтому, ска-
жем, в море или океане к берегу из области возникновения приходят
сначала длинные волны, а уже потом короткие. Этот факт можно исполь-
зовать для определения расстояния до шторма (читателю, по-видимому,
доставит удовольствие придумать способ обнаружения шторма и оценить
максимальную дальность обнаружения).
Заметим, что при анализе гравитационных волн мы исходили из доста-
точно общих уравнений. Если ограничить себя с самого начала анализом
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 263
- 264
- 265
- 266
- 267
- …
- следующая ›
- последняя »
