Составители:
Рубрика:
266
гравитационных волн на поверхности идеальной несжимаемой жидкости
(ρ = const), то можно исходить из уравнений
∂v
∂t
+ (v∇)v = −∇(p/ρ) + g, div v = 0 . (11.52)
Полагая далее, что движение потенциальное (rot v = 0), можно вве-
сти потенциал скорости v = ∇Φ. Воспользуемся формулой век торного
анализа (v∇)v = ∇(v
2
/2) − [v rot v]. Тогда для несжимаемой жидкости
∂v/∂t + (v∇)v = ∂v/∂t + ∇(v
2
/2) и, следовательно,
∂
∂t
(∇Φ) + ∇(
v
2
2
) = −∇(
p
ρ
) + g .
Поскольку g есть сила, действующая в поле тяжести на единицу массы,
можно ввести g = −∇U, где U — потенциальная энергия единицы массы
жидкости в поле тя жести. Тогда
∇
∂Φ
∂t
+
v
2
2
+
p
ρ
+ U
= 0 .
откуда легко можно получить так называемый инте грал Коши - Лагран-
жа [11]:
∂Φ
∂t
+
v
2
2
+
p
ρ
+ U = f (t) ,
где f(t) — некоторая функция времени. В стационарном потоке жидкости
(∂Φ/∂t = 0), когда движение установившееся и скорость не зависит от
времени, этот интеграл переходит в уравнение Бернулли
v
2
2
+
p
ρ
+ U = const , (11.53)
причем для потенциального движения константа в (11.53) одинакова во
всей жидкости. Если rot v = ω 6= 0 (ω характ еризует завихренность и
определяет угловую скорость элементарного объема жидкости, то (11.53)
справедливо вдоль данной линии тока (постоянная может быть разной
вдоль разных линий тока).
Очевидно, что (11.53) выражает закон сохранения энергии. В этом
состоит смысл уравнения Бернулли, связывающего скорость с давлени-
ем, поскольку U известна. Мы воспользуемся (11.53) в главе 15 чтобы
объяснить нарастание неустойчивости Гельмгол ьца.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 264
- 265
- 266
- 267
- 268
- …
- следующая ›
- последняя »
