Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 268 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

268
знаком в (11.57). В линейном приближении интеграл Коши — Лагранжа
имеет вид
∂Φ
∂t
+
p − p
0
ρ
= 0 , (11.58)
поскольку слагаемым v
2
/2 в этом приближении можно пренебречь, си-
лу тяжести мы не учитываем, чтобы рассмотреть только ка пиллярные
волны, а f (t) можно, не нарушая общности, считать равной нулю [1].
Используя (11.57), для z = 0 из (11.58) будем иметь
∂Φ
∂t
−
σ
ρ
∂
2
ζ
∂x
2
= 0 . (11.59)
Будем искать решение системы (11.56) в виде Φ = ϕ(z) exp[(i(ωt − kx)].
Тогда ∂
2
ϕ/∂z
2
− k
2
ϕ = 0 и ϕ(z) = B
1
exp(kz) + B
2
exp(−kz). Но если
жидкость достаточно глубокая, то ϕ(z) ≈ B
1
exp(kz), по скольку под по-
верхностью z < 0 (плоскость xy совпадает с невозмущенной горизонталь-
ной поверхностью жидкости). Продифф еренцируем (11.59) по t учтем, что
∂ζ/∂t = v
z
= ∂Φ/∂z. Будем иметь
ρ
∂
2
Φ
∂t
2
− σ
∂
2
∂x
2
∂Φ
∂z
= 0 . (11.60)
Поскольку Φ ≈ B
1
exp(kz) exp[i(ωt −kz)], из (11.60) получаем следующее
уравнение для капиллярных волн:
ω
2
= (σ/ρ)k
3
. (11.61)
Таким образом, C
3
в (11.55) равно
√
2π. Если одновременно учесть дей-
ствие на жидкость обеих возвращающих сил — и силы тяжести, и силы
поверхностного натяжения, — то в предположении, что Φ = Φ(x, z, t), для
жидкости, глубина которой равна H, мы получим дисперсионное уравне-
ние
ω
2
=
kg +
σk
3
ρ
th(kH) . (11.62)
Это уравнение дает закон дисперсии для гравитационно-капиллярных
волн (предоставляем читателям самим получить (11.62)).
Для капиллярных волн v
ф
=
p
σk/ρ, т. е. фазовая скорость растет
с ростом ω, что соответствует положительной дисперсии. На рис § 3

Страницы