Составители:
Рубрика:
33
Как и следовало ожидать, получился тривиальный результат: линейный
осциллятор совершает изохронные коле ба ния с периодом T = 2π/ω
0
.
Второй пример — маятник, причем будем считать, что угол отклоне-
ния от нижнего положения равновесия может быть большим (но не пре-
вышать по модулю π, чтобы движение маятника было колебательным).
Потенциальная энергия равна W
п
(ϕ) = mgl(1 − cos ϕ), и, используя ана-
логию между грузиком на пружинке и маятником, записываем выражение
для периода коле ба ний
T = 4
ϕ
m
Z
0
dϕ
p
2[W − mgl(1 − cos ϕ)]/I
. (1.43)
Максимальный угол отклонения ϕ
m
находится из условия W = mgl(1 −
− cos ϕ
m
), подставляя которое в (1.43), получаем
T =
4
ω
0
ϕ
m
Z
0
dϕ
p
2(cos ϕ − cos ϕ
m
)
=
2
ω
0
ϕ
m
Z
0
dϕ
p
sin
2
(ϕ
m
/2) − sin
2
(ϕ/2)
,
(1.44)
ω
0
=
p
g/l. Обозначим κ = sin(ϕ
m
/2) =
p
W/(2mgl), 0 < κ < 1, и
сделаем замену переменных sin(ϕ/2) = κt, тогда формулу (1.44) можно
преобразовать к виду
T =
4
ω
0
K(κ
2
) . (1.45)
где K(x) — полный эллиптический интеграл первого рода [20]
K(x) =
1
Z
0
dx
√
1 − t
2
√
1 − xt
2
, . (1.46)
Вид функции K(x) показан на рис. 1.6, из него следует, чт о период ко-
лебаний математического маятника увеличивается с ростом амплитуды
колебаний, причем в пределе ϕ
m
→ π, когда маятник близко подходит
к верхнему положению равновесия, период стремится к бесконечности.
Таким образом, математический маятник совершает неизохронные коле-
бания.
Полезно определить поправку к периоду линейных колебаний T
0
=
= 2π
p
l/g, если ϕ
m
мало , но конечно, что соответствует случаю κ ≈
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- …
- следующая ›
- последняя »
