Составители:
Рубрика:
35
W x
ï
( )
x
1
2
3
Рис. 1.7. Потенциальная энергия W
п
(x) = c|x|
n
: 1 —
1 < n < 2, 2 — n = 2, 3 — n > 2.
Интеграл есть число порядка единицы, зависящее только от n, поэтому
T (W ) ∼ W
−(n−2)/2n
. При n = 2, ка к и должно быть, колебания изохрон-
ны. Если 1 < n < 2, то с уменьшением энергии период уменьшается,
стремясь к нулю при W → 0, если же n > 2, то с уменьшением энер-
гии период, увеличивается, стремясь в нулевом пределе к бесконечности.
Разное поведение системы в этих д вух случаях объясняется различием в
форме графика функции потенциальной энергии (рис. 1.7): при 1 < n < 2
с уменьшением энергии расстояние между точками поворота уменьшает-
ся быстрее, чем средняя скорость частицы на интервале [−a, a], при n > 2,
расстояние между точками поворота уменьшается, наоборот, медленнее,
чем средняя скоро сть.
Этот пример показывает, что от вет на вопрос, будут ли изохронными
колебания зависит не от того, я вля ются они малыми или нет, а от того,
являются колебания линейными, или они существенно нелинейны.
§ 7. Энергетические соотношения для усредненных величин. Теоре-
ма вириала
При решении задач в которых фигурирует энергия, необходимо все-
гда конкретизировать вид осциллятора, так как входящие в уравнения
коэффициенты зависят о т его физической природы. Выберем в качестве
примера осциллятора грузик на пружинке. Его энергия состоит из суммы
кинетической энергии движения грузика W
к
= m ˙x
2
/2 и потенциальной
энергии пружины W
п
= kx
2
/2. Используя найденное решение (1.6), по-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- …
- следующая ›
- последняя »
