Составители:
Рубрика:
34
x
K x( )
4
3
2
1
0
0.2 0.4 0.6 0.8
Рис. 1.6. Функция K(x)
ϕ/2 1. В этом пределе в формуле (1.46) можно положить (1−κ
2
t
2
)
−1/2
≈
1 + κ
2
t
2
/2, тогда приближенно
K(κ
2
) ≈
1
Z
0
dx
√
1 − t
2
+
κ
2
2
1
Z
0
t
2
dx
√
1 − t
2
=
π
2
(1 +
κ
2
4
) .
Подставляя этот результат в формулу (1.45) и выражая κ через ϕ
m
, по-
лучаем
T = T
0
(1 + ϕ
2
m
/16) . (1.47)
Из формул ы (1.47) следует, что поправка с периоду за счет нелинейности
колебаний мала: маятник можно считать изохронным при выполнении
условия ϕ
2
m
/16 1. При угле в 30
◦
относительное изменение периода
составляет 0,017, то есть не более двух процентов. Таким образом, при
малых отклонениях колебания маятника можно считать изохронными, а
при достаточно больших углах этого делать уже нельзя.
Итак, линейные колебания изохронны. Однако это не значит, что та-
ковыми будут любые малые колебания. Рассмотрим потенциальную энер-
гию вида W
п
(x) = c|x|
n
, где c > 0 — константа, а n > 1 — показатель
степени, который может быть нецелым. Для такого потенциала точка ми-
нимума x = 0, малые колебания вблизи минимума подчиняются закону
m¨x+ cn sign(x)|x
n−1
| = 0. Это уравнение нелинейное, если n 6= 2. Период
колебаний определяется по формуле (1.42), в которую следует подставить
x
1,2
= ±a, W = ca
n
, a — максимальное отклонение частицы от нуля.
После простых преобразований получаем
T = 2
√
2mc
−(n+2)/(2n)
W
−(n−2)/2n
1
Z
0
dx
√
1 − x
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
