Составители:
Рубрика:
36
лучаем
W
к
=
mω
2
0
A
2
4
[1 − cos(2ω
0
t + 2ϕ
0
)] , W
п
=
kA
2
4
[1 + cos(2ω
0
t + 2ϕ
0
)] .
(1.48)
Из этих формул видно, что и кинетическая и потенциальная энергии
меняются с частотой, в два раза большей, чем частота изменения коор-
динаты. Полная энергия W = W
к
+ W
п
= mω
2
0
A
2
= kA
2
/2, естественно,
сохраняется. Видно, что энергия, запасенная в гармоническом осцилля-
торе, пропорциональна квадрату амплитуды его колебаний.
Наряду с соотношениями для мгновенных значений энергии, в теории
важную роль играют формулы, связывающие усредненные величины. Для
их вывода сделаем несколько определений.
Функция f(t) действительной переменной t называется периодиче-
ской, если существует такое число T , что для любого t выполняется
f(t + T ) = f (t). Очевидно, что если T — период, то периодом будут так-
же 2T , 3T , и т.д. Если функция f(t) кусочно непрерывна и отлична от
константы, то она имеет единственный наименьший период, который для
краткости называют просто периодом.
Средним значением периодической функции называется число
f(t) =
1
T
t+T
Z
t
f(t) dt . (1.49)
Черта сверху обычно означает операцию усреднения за период. Очевидно,
что результат усреднения не зависит от конкретного значения t в пределах
интегрирования, поэтому их чаще всего кладут равными 0 и T .
Операцию усреднения полезно ввести и для непериодической функ-
ции. Соответствующее определение имеет вид
f(t) = lim
T →∞
1
2T
t+T
Z
t−T
f(t) dt . (1.50)
Задача 1.1. Покажите, что для периодиче ской функции определение (1.50)
приводит к тому же результату, что и определение (1.49).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
