Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

37
Задача 1.2. Докажите формулы
sin ωt = cos ωt = 0, sin ωt cos ωt = 0,
sin
2
ωt = cos
2
ωt = 1/2.
Задача 1.3. Покажите, что если f(t) — периодическая функция, то
˙
f(t) =
= 0. Покажите, что этот результат сохраняет силу для непериодической
функции f (t), если она вместе со своей первой производной ограничена.
Вычислим средние значения кинетической и потенциальной энергий.
Применяя операцию усреднения к формулам (1.48) и используя результа-
ты задачи 1.2, легко находим
W
k
=
mω
2
0
A
2
4
,
W
п
=
kA
2
4
. (1.51)
Поскольку ω
2
0
= k/m, то
W
k
= W
п
= mω
2
0
A
2
/4. Итак, для гармониче-
ского осциллятора
W
k
= W
п
= W/2. Это обстоятельство играет важную
роль в определении статистический свойств газа из осцилляторов, как
в классическом, так и в квантовом случаях. Равенство средних значе-
ний потенциальной и кинетической энергий характерно только для по-
тенциальной энергии в виде параболы, т.е. только для гармонического
осциллятора.
Равенство средних значений является частным случаем известной в
механике теоремы вириала [21]. В простейшем виде она формулируется
для одномерного движения ч астицы по действием силы F (x). Умножим
уравнение Ньютона m¨x = F (x) на x(t) и воспользуемся формулой x¨x =
= d(x ˙x)/dt − ˙x
2
. Это приводит к соотношению
d
dt
(mx ˙x) − m ˙x
2
= x F (x) . (1.52)
Усредним (1.52) по времени и, пользуясь результатом задачи 1.3, получаем
2
W
k
+ V = 0 , (1.53)
где V =
xF (x) — вириал системы [21]. Операция усреднения правомерна
в двух случаях:
1) движение системы периодическое;
2) в проце ссе движения координата и скорость системы остаются огра-
ниченными.

Страницы