Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 339 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

339
ности, движения, Пуассона и состояния:
∂ ˜ρ
∂t
+ div(ρ
0
˜
v) = 0 , (14.11)
∂
˜
v
∂t
+
∂
˜
Φ
∂r
= −
1
ρ
0
∂ ˜p
∂r
, (14.12)
∆
˜
Φ = 4πG˜ρ , (14.13)
˜p = c
2
0
˜ρ . (14.14)
При выводе уравнения состояния (14.14) использовано баротропное урав-
нение состояния p = p(ρ); c
2
0
= ∂p/∂ρ— квадрат изотермиче ской скорости
звука.
Действуя оператором div на уравнение (14.12) и используя уравнения
(14.11) (при условии ρ
0
= const), (14.13) и (14.14), получаем следующее
вол новое уравнение
∂
2
˜ρ
∂t
2
−
ω
2
0
+ c
2
0
∆
˜ρ = 0 , (14.15)
где ω
2
0
= 4πGρ
0
. Коэффициенты уравнения (14.15) не зависят от коорди-
нат и времени, поэтому общее решение можно искать в виде:
˜ρ(r, t) =
X
k,ω
k
ρ(k, ω)e
i(ω
k
t−kr)
. (14.16)
Исходные уравнения (14.11)-(14.14) линейны т.е. справедлив принцип су-
перпозиции, и, следовательно, достаточно рассмотреть эволюцию произ-
вол ьно выбранной гармоники. В результате подстановки ее в уравнение
(14.15) находим дисперсионное уравнение:
ω
2
= c
2
0
k
2
−ω
2
0
. (14.17)
Отсюда сразу видно, что при k
2
< 4πGρ
0
/c
2
0
однородное распределение
плотности неустойчиво: ω
2
< 0. На нелинейной стадии процесса это при-
водит к возникновению гравитационных “капель” с пространственным
масштабом λ > λ
кр
=
p
πc
2
0
/Gρ
0
. Вид дисперсионных кривых уравне-
ния (14.17) приведен на рис. 14.5,а. Заметим, что закон дисперсии (14.17)
одновременно описывает и волновые возмущения в уже упоминавшейся
системе связанных маятников (в длинноволновом приближении), толь-
ко в о тличие от рис. 14.4, в этом случае речь идет об устойчивости
стационарного состояния, в котором все маятники “стоят вверх ногами”
(рис. 14.5,б).

Страницы