Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 345 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

345
a,b
2.0
0.0
-2.0
-4.0
-4.0-2.00.02.04.0
b
a
a
b
b
b
b
1
2
1,2
1
2
3
b=1,89
Рис. 14.6. Зависимость α и β от параметра рассинхронизма
b между пучком и “холодной” волной; α
1
соответствует
волне, растущей с расстойнием [14]
где I
0
= ρ
0
v
0
S — постоянный ток пучка, V
0
=
p
v
2
0
m/2e — ускоряю-
щее напряжение пучка. Условие совместности самосогласованной систе-
мы уравнений (14.31) и (14.40) в предположении, что i
0
и E изменяются
в пространстве, как exp(−ikx), где k — волновое число, приводит к дис-
персионному уравнению
(ω − kv
ф
)(ω − kv
0
− ω
q
)(ω − kv
0
+ ω
q
) = ω
3
C
3
, (14.41)
C
3
= (I
0
K/4V
0
)(v
0
/v
ф
)
2
, C — известный в теории ЛБВ параметр усиле-
ния [13]. Нетрудно видеть из уравнения (14.41), что во взаимодействии
участвуют одна волна волноведущей системы k = ω/v
ф
и две волны
пучка — быстрая волна пространственного заряда (k = (ω − ω
q
)/v
0
) и
медленная волна пространственного заряда (k = (ω + ω
q
)/v
0
). Необхо-
димым условием усиления в пространстве является комплексность вол-
нового числа при действительной частоте и, поскольку E ∼ exp(−ikx)
для волн, бегущих вправо, то неустойчивость в пространстве будет лишь
тогда, когда Im k > 0.
На рис. 14.6 решение уравнения (14.41) при ω
q
= 0 показано в ви-
де зависимостей α = Im k/(k
e
C) и β = (k
e
− Re k)/(k
e
C) (k
e
= ω/v
0
)
от параметра рассинхронизма b = (k
0
− k
e
)/(k
e
C) (k
0
= ω/v
ф
) между
пучком и "холодной"волной. Предполагается, что влиянием затухания и
сил пространственного заряда на взаимодействие можно пренебречь. Лег-
ко видеть, что при b = 0 (v
0
= v
ф
) достигается максимальное значение
инкремента (Im k)
max
= (
√
3/2)k
e
C и что область неустойчивости огра-
ничена значением b = 3
3
√
2/2 ≈ 1,89.

Страницы