Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 355 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

355
или
ω
2
p1
(ω −kv
01
)
2
+
ω
2
p2
(ω − kv
02
)
2
= 1 . (14.53)
Задача 14.1. Используя представления гидродинамической теории горя-
чей плазмы главы 12, покажите, что дисперсионное уравнение для г орячей
плазмы, пронизываемой холодным электронным пучком, имеет вид:
ω
2
эп
(ω − kv
эп
)
2
+
ω
2
пл
(ω − kv
Т
)
2
= 1 ,
где ω
эп
— ленгмюровская частота пучка, ω
пл
— ленгмюровская частота плаз-
мы, v
эп
— постоянная скорость электронного пучка, v
Т
— тепловая скорость
электронов плазмы. Напомним, что в гидродинамическом приближении в
обозначениях главы 12 p
е
= k
Б
T
e
.
Заметим, что коэффициенты уравнений — действительные величины,
в то время как корни его (ω или k ) могут быть комплексными. Рассмо-
трим теперь детально различные частные случаи.
Пусть пучки совершенно одинаковые, но встречные, т. е.
ρ
01
= ρ
02
= ρ
0
, ω
p1
= ω
p2
= ω
p
, v
01
= −v
02
= v
0
. (14.54)
С учетом (14.54) дисперсионное уравнение (14.52) принимает вид
D(ω, k) = (ω − kv
0
)
2
(ω + kv
0
)
2
− ω
2
p
(ω − kv
0
)
2
− ω
2
p
(ω + kv
0
)
2
= 0
или
ω
2
= (k
2
v
2
0
+ ω
2
p
) ±
q
4ω
2
p
k
2
v
2
0
+ ω
4
p
. (14.55)
Из (14.55) видно, что ω могут быть комплексными, если k
2
v
2
0
+ ω
2
p
<
ω
p
q
4k
2
v
2
0
+ ω
2
p
, т. е. при условии, когда
k <
√
2ω
p
/v
0
. (14.56)
Из (14.56) следует, что λ
p
<
√
2λ (k = 2π/λ, w
p
/v
0
= 2π/λ
p
), т.е.
неустойчивы лишь длинноволновые возмущения. Подчеркнем, что k здесь
действительные. Дисперсионные характеристики, определяемые форму-
лой (14.55), приведены на рис. 14.11.
Для понимания рис. 14.11 проследим за цепочкой переходов: один пу-
чок — два невзаимодействующих пучка — два взаимодействующих пучка

Страницы