Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 414 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

414
Подобная оптико-механическая аналогия дважды сыграла огромную
роль в развитии физики. Сначала она была использована У.Гамильтоном
для вывода уравнений механики в гамильтоновской формулировке, а за-
тем Шредингер применил эту же аналогию для получения кванто-механического
уравнения, носящего теперь его имя.
Уравнения лучей в форме (17.15) или (17.17) решают либо аналитиче-
ски, что возможно лишь в небольшом числе случаев, либо численно, что
при современном уровне развития численных методов не представляет
особых трудностей.
Обратимся теперь к уравнению переноса (17.8), определяющему за-
кон изменения амплитуды волны в пространстве. Используя соотношение
(17.12), запишем его в виде A
0
div p + 2p grad A
0
= 0, или
div(pA
2
0
) = 0 . (17.20)
Вектор I = pA
2
0
в нулевом приближении геометрической оптики про-
порционален вектору потока плотности энергии волны. Покажем это на
примере акустических волн. Плотность потока звуковой энергии равна
q = P
0
v [9], где P
0
— возмущение давления, v - скорость среды. Ис-
пользуя соотношения из главы 11 P
0
= −ρ
0
˙ϕ и v = ∇ϕ, получаем q = −
−ρ
0
˙ϕ ∇ϕ. Принимая во внимание гармоническую зависимость всех пере-
менных от времени, переходя от потенциала скоростей ϕ к его комплекс-
ной амплитуде u и усредняя выражение для q по периоду колебаний,
получаем
q = −
iωρ
0
4
(u∇u
?
− u
?
∇u) . (17.21)
В нулевом приближении u = A
0
exp(−ikψ). При дифференцирова-
нии этого выражения амплитудный множитель A
0
следует рассматривать
как постоянную величину, иначе будет получено превышение точности,
так как слагаемое, пропорциональное ∇A
0
, имеет тот же порядок, что и
слагаемое в дебаевском разложении, пропорциональное A
1
. Проводя вы-
числения с учетом этого правила, приходим к следующей формуле для
потока мощности акустической волны:
q =
ωkρ
0
2
∇ψA
2
0
=
ωkρ
0
2
pA
2
0
.
Итак, уравнение переноса, записанное в форме (17.20), представляет со-
бой закон сохранения потока энергии.

Страницы