Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 433 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

433
Рассмотрим распространение электромагнитной волны в среде, ди-
электрическая проницаемость которой зависит только от координаты z:
ε = ε(z). Будем считать, что волновой вектор лежит в плоскости xz,
поэтому все компоненты поля не зависят от координаты y. Кроме того,
поскольку в направлении x среда однородная, то можно рассматривать
только решения, зависящие от x по гармоническому закону exp(−iβx),
где β — x-компонента волнового вектора. Таким образом в уравнениях
Максвелла (17.3a) и (17.3b) можно положить ∂/∂x = −iβ и ∂/∂y = 0.
Вид уравнения для поля зависит от поляризации волны. Возможны
два случая. Если вектор электрического поля перпендикулярен плоско-
сти падения xz, то компоненты поля E
x
, E
z
, и H
y
строго равны нулю. В
теории плоских диэлектрических волноводов собственные моды, обладаю-
щие такой поляризацией, называются T E-модами. Расписывая уравнения
(17.3a)и (17.3b) по координатам, получаем
H
x
=
1
−ik
dE
y
dz
, H
z
= −
β
k
E
y
,
dH
x
dz
+ iβH
z
= −ikεE
y
,
Подставляя первые два соотношения в третье, приходим к уравнению для
y-компоненты электрического поля:
d
2
E
y
dz
2
+ [k
2
ε(z) − β
2
] E
y
= 0 . (17.46)
Это уравнение совпадает с уравнением (17.5) из § § 1, которое было вы-
ведено для произвольной неоднородной среды в пренебрежении эффекта-
ми поляризации, если положить в (17.5) E(x, z) = E
y
(z) exp(−iβx). Мы
получили, что для T E-моды в плоско-слоистой среде уравнение (17.46)
является точным.
Аналогично, когда вектор электрического поля падающей волны ле-
жит в плоскости падения, выполняются соотношения H
x
= H
z
= E
y
= 0.
Моды с такой поляризацией называются T M-волнами. В этом случае из
уравнений Максвелла следует
E
x
=
1
iεk
dH
y
dz
, E
z
=
β
kε
H
y
,
dE
z
dz
+ iβE
z
= ikH
y
,
Все компоненты поля выражаются через одну скалярную функцию H
y
(z),

Страницы