Составители:
Рубрика:
436
Разложим вблизи точки поворота функцию q
2
(z) в ряд Тейлора: q
2
(z) =
= q
2
(z
0
)+(dq
2
/dz)
z=z0
(z −z
0
)+. . . ≈ k
2
ε
0
(z
0
)(z −z
0
) и введем безразмер-
ную координату ξ = k
2/3
|ε
0
(z
0
)|
1/3
(z − z
0
). Тогда вблизи точки поворота
вместо уравнения (17.46) можно записать
d
2
F
dξ
2
− ξF = 0 . (17.51)
Это уравнение называется уравнением Эйри, а его линейно независимые
решения называются функциями Эйри. Одна из этих функций обознача-
ется Ai(ξ) и ее можно представить в виде [2,18]
8
Ai(ξ) =
1
√
π
∞
Z
0
cos
t
3
3
+ ξt
dt . (17.52)
Функция Эйри хорошо изучена и протабулирована, а в современных ком-
пьютерных пакетах математического обеспечения, таких как Mathemat-
ica, она включена как стандартная функция. Нам потребуются асимпто-
тические разложения функции Эйри при больших значениях аргумен-
та [19]:
Ai(ξ) ∼
1
2ξ
1/4
exp( −
2
3
ξ
3/2
) , ξ > 0
Ai(ξ) ∼
1
|ξ|
1/4
cos(
2
3
|ξ|
3/2
−
π
4
) , ξ < 0
(17.53)
Как видно из этих формул, функция Эйри Ai(ξ) при больших положи-
тельных значениях аргумента экспоненциально убывает. Можно пока-
зать, чт о любое другое линейно независимое решение уравнения Эйри
в этом пределе будет экспоненциально возрастать, поэтому необходимое
нам решение выражается только через функцию Ai(ξ):
F (ξ) = CAi(ξ) . (17.54)
Здесь C — амплитудный множитель.
Предположим, что квазиклассическое приближение для уравнение
(17.46) становится применимым на таких расстояниях от точки поворо та,
на которых функцию q
2
(z) все еще можно считать линейной. При таких
8
В широко распространенном справочнике [19] определение функции Эйри отличается
от приведенного здесь постоянным множителем. Вместо коэффициента 1/
√
π в [19] перед
интегралом стоит 1/π
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 434
- 435
- 436
- 437
- 438
- …
- следующая ›
- последняя »
