Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 437 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

437
значениях координаты можно сшить приближенные ВКБ-решения (17.49)
и (17.50) с решением (17.54). Определим условия, при которых процедура
сшивки возможна. Квадратичное слагаемое в разложении q
2
(z) в ряд Тей-
лора мало по сравнению с линейным, если |ε
0
(z
0
)||z−z
0
| |ε
00
(z
0
)||z−z
0
|
2
,
откуда, используя оценки ε
0
∼ ε/L и ε
00
∼ ε/L
2
, находим |z − z
0
| L.
Условие применимости ВКБ-приближения можно получить из формулы
(7.59), если заменить t на z и ω(t) на q(z): |q
0
(z)| |q
2
(z)|. В этом нера-
венстве можно использовать q
2
(z) ≈ k
2
ε
0
(z
0
)(z − z
0
), в результате чего
оно приводит ся к виду |z − z
0
| L/(
√
εkL)
2/3
. Таким образом, если вы-
полняется условие
√
εkL 1, всегда существует такое z
1
, для которого
одновременно выполняются неравенства
L
(
√
εkL)
2/3
|z
1
− z
0
| L . (17.55)
На расстояниях порядка z
1
от точки поворота, с одной стороны, уже рабо-
тает ВКБ-приближение, а с другой — еще можно использовать уравнение
Эйри.
Предположим, ч то условие (17.55) выполнено. В этом случае ВКБ-
решения (17.49) и (17.50) должны совпадать с первым членом асимпто-
тического разложения решения (17.54). Вычислим интегралы в формулах
(17.49) и (17.50):
Z
z
z
0
q(z
0
)dz
0
≈
p
|ε
0
(z
0
)|k
Z
z
z
0
p
z
0
− z
0
dz
0
=
Z
|ξ|
0
p
ξ
0
dξ
0
=
2
3
|ξ|
3/2
,
если z < z
0
, и
Z
z
z
0
|q(z
0
)|dz
0
≈
p
|ε
0
(z
0
)|k
Z
z
z
0
p
z
0
− z
0
dz
0
=
Z
ξ
0
p
ξ
0
dξ
0
=
2
3
ξ
3/2
,
если z > z
0
. Подставляя эти выражения в (17.49) и (17.50) и сравнивая
полученные формулы с асимптотикой функции Эйри (17.53), получаем,
что коэффициенты A
+
, A
−
, B
+
и C связаны соотношениями
A
+
=
e
iπ/4
C
2
, A
−
=
e
−iπ/4
C
2
, B
+
=
C
2
. (17.56)
Эти формулы определяют связь между амплитудами пада ющей A
+
, отра-
женной A
−
и прошедшей в запрещенную область волны B
+
. Видно, ч то
коэффициент отражения от каустики равен A
−
/A
+
= exp(−iπ/2), то есть
по модулю амплитуды падающей и отраженной волн равны, а их фаза от-
личается на −π/2. Э то тот самый сдвиг фазы на каустике, о котором шла
речь в § § 1.

Страницы