Составители:
Рубрика:
85
Свойство линейности системы позволяет получить полное решение
уравнения (5.3) для произвольных начальных условий и произвольного
вида функции F (t). Вспомним сформулированный в главе 1 принцип су-
перпозиции. Применяя этот принцип к уравнению (5.3), можно сказать,
что его решение можно представить в виде x(t) = X(t) + ξ(t), где X(t)
— общее решение однородного уравнения, а ξ(t) — какое-либо частное
решение уравнения (5.3).
Предположим, что ξ(t) известно. Тогда
x(t) = e
−γt
(A cos ωt + B sin ωt) + ξ(t) . (5.4)
Постоянные A и B определяются начальными условиями, которые для
простоты будем ставить при t = 0. Если x
0
и v
0
— начальные смещение
и скорость осциллятора, то легко получить
A = x
0
− ξ(0) , B =
[v
0
−
˙
ξ(0)] + γ[x
0
− ξ(0)]
ω
. (5.5)
Из этих соотношений видно, что значения постоянных A и B зависят от
выбора частного решения ξ(t). Это решение, как уже говорилось, можно
получить при произвольном виде функции F (t), однако некоторые важ-
ные частные случаи полезно исследовать о тдельно. Самым главным таким
случаем является случай гармонического воздействия, когда сила имеет
вид
F (t) = F
0
cos(pt + ψ
0
) , (5.6)
F
0
— амплитуда внешней силы, p — ее ч астота, ψ
0
— фаза (отметим, что
при расчете процессов установления колебаний фаза внешней силы важна
и ее нельзя просто положить равной нулю). Для получения решения в
этом случае воспользуемся методом комплексных амплитуд.
§ 2. Метод комплексных амплитуд
Метод комплексных амплитуд столь широко используется в теории
колебаний, радиофизике и физике вообще, что часто в книгах и научных
статьях его применение специально даже не оговаривается. Метод пред-
назначен для описания линейных систем, в которых происходят гармони-
ческие или близкие к гармоническим колебания. Для вывода основных
соотношений метода полезно воспользоваться геометрической интерпре -
тацией, связывающей колебательный процесс с вращением некоторого
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
