Линейные колебания и волны. Трубецков Д.И - 86 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГУ им. Чернышевского | Саратов

Составители: 

Рубрика: 

86
вектора на плоскости
1
. Не определяя конкретную физическую природу
колебаний, будем в этом разделе говорить просто о гармоническом сиг-
нале x(t) = x
0
cos(ωt + ϕ
0
) с ч астотой ω, амплитудой x
0
и начальной
фазой ϕ
0
. Рассмотрим на плоскости (x, y) (см. рис. 5.2) вектор длины x
0
,
выходящий из начала координат и составляющий в момент t = 0 угол
ϕ
0
с положительным направлением оси x. Если вектор вращается против
часовой стрелки с угловой скоростью ω, то проекция его конца на ось их
меняется по закону x
0
cos(ωt + ϕ
0
), т.е. в соответствии с законом измене-
ния x(t). Мы получаем соответствие между гармоническим колебанием и
движением точки на плоскости. С другой стороны, эту плоскость можно
представить как комплексную плоскость z = x+iy, тогда движение точки
будет описываться комплексной функцией
z(t) = x
0
cos(ωt + ϕ
0
) + i sin(ωt + ϕ
0
) = x
0
e
i(ωt+ϕ
0
)
=
¯
Xe
iωt
,
где
¯
X = x
0
exp(iϕ
0
). Функция z(t) называется комплексным сигналом,
отвечающим гармоническому сигналу x(t), а величина
X называется ком-
плексной амплитудой сигнала
2
. Непосредственно из определения этих
величин следует формула
x(t) = Re
¯
Xe
iωt
, (5.7)
позволяющая вычислить настоящий сигнал, если известны его комплекс-
ная амплитуда и частота. Комплексная амплитуда соединяет в себе две
характеристики сигнала — амплитуду и начальную фазу, таким образом,
что
¯
X = x
0
e
iϕ
0
, или x
0
= |
¯
X| ϕ
0
= Ar g
¯
X . (5.8)
Комплексная амплитуда о бладает рядом важных свойств.
1) Линейность. Сумме гармонических колебаний с одинаковой часто-
той соответствует комплексная амплитуда, являющаяся суммой ком-
плексных амплитуд каждого из колебаний. Условно это свойство
можно записать в следующем виде: если
x
1
(t) ↔
¯
X
1
, x
2
(t) ↔
¯
X
2
, то x
1
(t) + x
2
(t) ↔
¯
X
1
+
¯
X
2
, (5.9)
1
Эта же аналогия лежит в основе другого метода — метода векторных диаграмм,
который используется в э лектротехнике для расчета электрических схем.
2
Мы будем обозначать комплексную амплитуду сигнала таким же символом как и сам
сигнал, но заглавными буквами и с чертой сверху

Страницы